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Coordenadas polares o sistemas polares
Para definir coordenadas polares, fijamos primero un origen O(llamado polo) y un rayo inicial desde O. cada punto P puede entonces localizarse asignándole un par de coordenadas polares ( r , Q) en donde r es la distancia dirigido de O a P y Q da el ángulo dirigido del rayo inicial al rayo OP.

Conversión decoordenadas polares a rectangulares
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:


Conversión de coordenadas rectangulares a polares
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x , y), se tiene que la coordenada polar r es:
(Aplicando el Teorema de Pitágoras)¿Cómo graficar?
_Se llama cardioide a la curva cuya ecuación polar es: ρ=a(1+cos θ), por su semejanza con el dibujo de un corazón.
La cardioide es una curva ruleta de tipo epicicloide, con k=1. También es un caracol de Pascal, cuando 2a=h
A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo sepresenta una cardioide simétrica con respecto al eje polar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardioide. La función que lo ha generado es:


 
Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode, se presenta otro gráfico de este tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráficode la siguiente función:


LIMACONES O CARACOLES
_Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio  Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funcionesen coordenadas polares con la forma:
r = 1 + b cos
Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico es la siguiente:


Veamos otro gráfico de una función que tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero que a diferencia del gráfico anterior, este apuntahacia abajo. Veamos:


Continuando con la gráfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y está dirigido hacia la izquierda. Veamos a continuación el gráfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda:


Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con la diferencia que ahora estádirigido hacia la derecha, de modo que tenemos un limaçon o caracol con hendidura o concavidad que está dirigido hacia la derecha:


Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro gráfico diferente a los otros, que es conocido como caracol convexo o caracol ovalado, el cual está apuntando hacia arriba, como lo vemos en el gráfico siguiente:Rosa polar

_La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,
En matemáticas, rosa polar es el nombre que recibe cualquier miembro de una familia d curvas de ecuación:
por asemejarse a una flor de pétalos.
Esta familia conocida también como rhodoneas ( del griego rhodon, rosa) fue estudiado por el matemático LUIGI GUIDO GRANDI , en torno al 1725 , en su libro flores geometeci.
Para cualquier constante (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones...