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LECCIÓN 22. FUNCIÒN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL
Ejercicio. El parque está formado por 50 torres numeradas de 1 a 50. Denotamos por X1, X2, X50 las potencias producidas por cada una de las torres en un momento dado. Supongamos que cada Xi sigue una distribución Normal con media 1000 y varianza 2500.
a). ¿Cuál es la probabilidad de que la potencia producida por una torre sea mayor que 1050 unidades?b). Suponiendo que las variables X1, ,X50 son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que haya exactamente 8 torres que estén produciendo mas de 1050 unidades?
c). Calcular la probabilidad de que mas de 10 torres estén produciendo mas de 1050 unidades.
d). Si P es la potencia total producida por el parque en un momento dado, y si seguimos suponiendo que las variables X1, ,X50 sonindependientes, ¿cuál es la distribución de P?

Ejemplo, La renta media de los habitantes de un país es de 4 millones de pesos/año, con una varianza de 1,5. Se supone que se distribuye según una distribución Normal. Calcular:
a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones de pesos.
b) Renta a partir de la cual se sitúa el 10% de la población con mayores ingresos.
c) Ingresosmínimo y máximo que engloba al 60% de la población con renta media.
a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones de pesos.
[pic]

a) El valor de z para 3 millones de pesos es de -0,816.
P(X1,4) = 1 - P (z4, y nq=140>4, entonces [pic]

Así aproximando la variable aleatoria discreta binomial X, mediante la variable aleatoria continua normal,
[pic]

También esnecesario calcular P(X=60). Esta probabilidad se calcula exactamente como:
[pic]

Ejemplo, Los resultados de una prueba objetiva de selección pasada a 200 personas indicaron que la distribución de puntuaciones era normal, con media 60 puntos y desviación típica de 6 puntos. Cada prueba se puntuó con 0 ó 1 puntos. Calcular cuántos examinados han obtenido una puntuación entre 30 y 40 puntos, y cuáles la mínima puntuación por debajo de la cual están el 75 % de los examinados.

Tipifiquemos la variable con los valores extremos dados:
[pic]
La probabilidad de obtener una puntuación entre 30 y 40 es:
[pic]
con lo cual no hay ningún examinado con una puntuación entre 30 y 40. Por otro lado, la mínima puntuación por debajo de la cual está el 75 % de los examinado la obtenemos así:
[pic]El valor de zx está entre 0,67 y 0,68 podemos realizar una interpolación proporcional para obtener:
Para 0,01, la diferencia es 0,0031
Para x, la diferencia es 0,0014
luego:
[pic]
entonces: zx=0,67+0,0045=0,6745 x1=6zx+60=6 . 0,6745+60=64

Y la mínima puntuación por debajo de la cual está el 75 % de los examinados es 64.

Ejemplo, Una empresa instala en una ciudad 20.000 bombillas parasu iluminación. La duración de una bombilla sigue una distribución normal con media 302 días y desviación típica 40 días. ¿Cuántas bombillas es de esperar que se fundan antes de 365 días? ¿Cuántas durarán más de 400 días? Explica razonadamente el método seguido par encontrar la solución.
Tipificamos el valor 365: [pic]
entonces: [pic] siendo la esperanza matemática: E= n.p= 20000 . 0,9418 =18836 bombillas se fundirán antes de 365 días. Tipifiquemos el valor 400: [pic] entonces:
[pic]y la esperanza matemática: E=20000 . 0,0071 = 142 bombillas durarán más de 400 días.

Ejemplo, Explica el significado de la expresión “LA BINOMIAL COMO APROXIMACIÓN A LA NORMAL”.

Considera tres distribuciones binomiales B(10; 0,1), B(200; 0,1) y B(200; 0,5) y explica cuál de ellas se puede aproximarmejor y cuál peor por una distribución normal.

Una distribución binomial se puede aproximar por una normal de media m = np y desviación típica [pic] siempre que n tienda a infinito (en la práctica es suficiente que n sea mayor o igual que 30) y p sea muy próximo a 0,5. La aproximación es muy buena cuando np y nq son superiores a 5.

En las tres binomiales dadas:
[pic]
[pic]
Siendo la...