Telecom

Se˜ales y sistemas discretos
n
H´ctor Jos´ P´rez Iglesias
e
ee
2 de diciembre de 2005

1.

Se˜ales
n
Una se˜al es la descripci´n cuantitativa de un fen´meno f´
n
o
o
ısico, cuya informa-

ci´n esta contenida en un patr´n de variaciones.
o
o
Ejemplos de se˜ales son:
n
Las variaciones de presi´n producidas en el aire por un instrumento musical
o
o la voz de una persona.
Ladiferencia de potencial que se produce en una resistencia el´ctrica en
e
funci´n del tiempo:
o
v (t) = sin(2πf0 t)
La velocidad a la que se desplaza un veh´
ıculo.
La fuerza aplicada sobre un cuerpo.
El brillo de cada uno de los puntos de una imagen en funci´n de las cooro
denadas espaciales.
1

1.1 Propiedades de las se˜ales
n

...
Las se˜ales se pueden representar de muchasformas. Matem´ticamente, se
n
a
expresan como una magnitud que toma valores en funci´n de una o m´s variables
o
a
independientes.
Habitualmente una se˜al se denotar´ con la letra x y su variable independiente
n
a
ser´ el tiempo, que se representar´ con una t para el caso continuo y con una n
a
a
para el caso discreto. Este concepto se explica en la secci´n 1.1.1.
o

1.1.

Propiedadesde las se˜ ales
n

A continuaci´n se describen las propiedades m´s importantes que pueden
o
a
presentar las se˜ales.
n

1.1.1.

Continuas y discretas

Como se enunci´ al comienzo de este cap´
o
ıtulo, una se˜al se describe matem´tin
a
camente como una funci´n, y se considerar´ continua o discreta seg´n lo sea su
o
a
u
variable independiente.
Una se˜al continua toma un valordeterminado para cada t ∈
n

R

−→

R.

C

t −→ x(t)
Si una se˜al es discreta, su dominio son los n´meros enteros y tendr´ un valor
n
u
a

Z

para cada n ∈ .

Z

−→

C

n −→ x(n)
2

1.1 Propiedades de las se˜ales
n

x(t) − señal continua
1
0
−1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5
−3

x 10

x(n) − señal discreta
10
5
0
−5−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Figura 1: Se~al continua y se~al discreta
n
n
En la figura 1 se muestra un ejemplo de se˜al continua y otro de se˜al discreta.
n
n

En este capitulo analizaremos en concreto las se˜ales y los sistemas discretos,
n
ya que son los propios del procesado digital. En la secci´n 5.1 se expone el proceso
o
de muestreo, utilizado para obtener unase˜al discreta a partir de una se˜al
n
n
continua.

1.1.2.

Reales y complejas

Una se˜al es real cuando lo es su variable dependiente, cuando esta sea un
n
n´mero complejo, la se˜al ser´ compleja.
u
n
a
Una se˜al discreta real se describe como:
n

Z

−→

R

n −→ x(n)

3

1.1 Propiedades de las se˜ales
n

Y una se˜al discreta compleja como:
n

Z

−→

C

n −→x(n) = xreal (n) + j · xim (n) = r(n) · ejφ(n)

1.1.3.

Energ´ finita o infinita
ıa

La energ´a de una se˜al x(n) se describe matem´ticamente como:
ı
n
a
∞

N

|x(n)|2 =

Ex = l´
ım

N →∞

|x(n)|2

(1)

n=−∞

n=−N

Se dice que una se˜al posee una energ´a finita si Ex < ∞.
n
ı

1.1.4.

Potencia media finita o infinita

La potencia media de una se˜al x(n) se determinacomo se muestra en la
n
ecuaci´n:
o

N

1
Px = l´
ım
|x(n)|2
N →∞ 2N + 1
n=−N

(2)

Se dice que una se˜al posee una potencia media finita si Px < ∞.
n

1.1.5.

Peri´dicas
o

Las se˜ales peri´dicas son aquellas que vuelven a tomar los mismos valores de
n
o
forma c´
ıclica para un determinado n´mero de muestras.
u
Se ha de cumplir para una se˜al peri´dica la siguienteecuaci´n:
n
o
o
∃N ∈

N

Z

/ ∀k ∈ , x(n) = x(n + k · N )

4

(3)

1.2 Operaciones b´sicas
a

El par´metro N determina el n´mero de muestras que comprende un ciclo de
a
u
la se˜al.
n
Un ejemplo de se˜al peri´dica es:
n
o
x(n) = sen(2 · π · 0,1 · n)

(4)

y el valor su parametro N ser´ 10.
ıa

1.1.6.

Pares e impares

Las se˜ales pares son aquellas...