Tem 08

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REPRESENTACIÓN
DE FUNCIONES

Página 185
REFLEXIONA Y RESUELVE
Descripción de una gráfica
■

Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar
la gráfica que aparece al principio, representa esta función sobre unos ejes coordenados dibujados en papel cuadriculado.
(La solución está en el propio ejercicio).

■

Traza unos ejes coordenados sobre papel cuadriculadoy representa una curva,
lo más sencilla posible, que cumpla las siguientes condiciones:
•
•

lím f (x) = – @

x 8 –@

lím f (x) = 2

x 8 +@

• lím f (x) = – @
x 8 2–

• lím f (x) = +@
x 8 2+

• f (0) = 4; f' (0) = 0
• f (–5) = 0; f (1,75) = 0
• f es derivable en todo

Á, salvo en x = 2.

4

1
–5

Unidad 8. Representación de funciones

1

1

■

Describe, con la menor cantidad de datos y de formasimilar a la de los apartados anteriores, la siguiente función:

•

lím

f (x) = –1

lím

f (x) = – @

lím

f (x) = +@

lím

f (x) = +@

x 8 –@

•

x 8 +@

•
•

x 8 – 3–
x 8 – 3+

• f (–9) = 0; f (0) = 0; f (8) = 0
• f' (0) = 0
• f (4) = 4; f' (4) = 0
■

Representa sobre unos ejes en papel cuadriculado una gráfica inventada por ti.
Descríbela en papel aparte. Dale la descripción a tu compañera ocompañero
para que la represente.
Representa tú la suya.
Comparad cada representación con la curva original. Discutid las diferencias
que observéis.
¿Hay algún error en la representación? ¿Hay, acaso, error en la descripción?
¿Es todo correcto?

Por ejemplo:
•

lím f (x) = – @;

x 8 –@

•
1

lím

x 8 – 4–

f (x) = – @;

lím f (x) = 2

x 8 +@

lím

x 8 – 4+

f (x) = +@

• f (–4) = 0; f' (–4) = 0
1• f (1) = 0; f' (1) = 0
• f (0) = 1

2

Unidad 8. Representación de funciones

UNIDAD

■

8

Observa esta gráfica:

• Halla la ordenada para las siguientes abscisas:
x = 0, x = 1, x = 3, x = –7, x = 12, x = – 400, x = 13, x = –199
• ¿En qué puntos no está definida esta función?
• ¿Qué tramo de la función te bastaría conocer para hacerte una idea exacta de
cómo es la gráfica?
• ¿Te sugiere estacurva algún tipo de simetría o periodicidad?
• f (0) = 0; f (1) = 1; f (3) = 1; f (–7) = 1
f (12) = 0; f (– 400) = 0; f (13) = 1; f (– 199) = 1
(En general, f (4k) = 0; f (4k + 1) = f (4k – 1) = 1 y no existe f (x) en x = 4k + 2,
con k é Z).
• La función no está definida en los puntos de la forma x = 4k + 2, con k é

Z.

• Bastaría con conocer la función para x é [0, 2), si supiéramos que es par y quees
periódica de período 4.
• Simetría 8 Es una función par (simétrica respecto al eje Y ).
Periodicidad 8 Es periódica de período 4.

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1. Halla el dominio de estas funciones:
a) y = x 3 – 5x 2 + 7x + 3
b) y =

3x 3 + 5
x 2 – 5x + 4

c) y =

x 3 + 2x
x2 + 1

a) Dominio =

Á

b) x 2 – 5x + 4 = 0 8 x =
Dominio =

5 ± √ 25 – 16
5 ± √9
5±3
=
=
2
2
2

x=4
x=1

Á – {1, 4}

c) x 2 + 1 ? 0 paratodo x 8 Dominio =
Unidad 8. Representación de funciones

Á

3

2. Halla el dominio de:
a) y = √x 2 – 2x

b) y = ln (x 2 + 1)

c) y = ln (x 2 – 1)

d) y =

ex
x2

a) x 2 – 2x Ó 0 8 Dominio = (– @, 0] « [2, +@)
b) x 2 + 1 > 0 para todo x 8 Dominio =

Á

c) x 2 – 1 > 0 8 Dominio = (– @, –1) U (1, +@)
d) x 2 = 0 8 x = 0 8 Dominio =

Á – {0}

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3. Halla las simetrías y las periodicidades; didónde son continuas y dónde derivables:
b) y = √x 2 – 2x

a) y = 3x 4 – 5x 2 – 1
c) y =

x3
x2 – 1

d) y =

x3 – 1
x2

e) y = sen x + 1/2 (cos 2x)
a) f (–x) = 3(–x) 4 – 5(–x) 2 – 1 = 3x 4 – 5x 2 – 1 = f (x)
Es una función par: simétrica respecto al eje Y.
No es periódica.
Es continua y derivable en

Á.

b) Dominio = (– @, 0] « [2, +@)
f (–x) = √x 2 – 2x . No es par ni impar; no es simétricarespecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas.
No es periódica.
Es continua en su dominio.
Es derivable en (– @, 0) « (2, +@).
c) Dominio =
f (–x) =

Á – {–1, 1}

–x 3
= – f (x). Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas.
x2 – 1

No es periódica.
Es continua y derivable en su dominio.
d) Dominio =
f (–x) =

Á – {0}

–x 3 – 1
. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje...