Tema 08 Campos Vectoriales Integrales Curvilineas Y De Superficies

TEMA VIII

CAMPOS VECTORIALES - INTEGRALES CURVILÍNEAS Y DE SUPERFICIES

VIII.1 CAMPOS VECTORIALES.
En física una magnitud es un campo cuando está definida en todo el plano o espacio. Si
esta magnitud es un número, un escalar, tendremos un campo escalar, si es en cambio un
vector, será un campo vectorial.
Por ejemplo, en un día con mucho viento, la temperatura que haga en cualquier parte de
unaciudad será un campo escalar. De este modo podemos saber cuántos grados de
temperatura hay en cualquier punto de la ciudad. Si para esta misma ciudad tomamos la
intensidad y dirección del viento como un vector tendremos un campo vectorial.
Análogamente podremos asignar un vector velocidad del viento para cada punto de la
ciudad. Tendremos definida una cierta magnitud vectorial en todos los puntosdel espacio.

Un campo vectorial es una función de ℜ n → ℜ n . Los campos vectoriales de uso en la física
son aquellos que a cada punto del plano o del espacio le asignan respectivamente un
vector en el plano o en el espacio.
VIII.1.1

Definición
y

G
F : D ⊂ ℜ2 → ℜ 2

G
x

es un campo vectorial que

G G
F (x)

le asigna a cada punto ( x, y ) del plano, un
G
vector F ( x, y ) = Fx ( x, y ) ˆi + Fy( x, y ) ˆj .

x
G
con x = ( x, y )

z

G
x

G G
F (x)

Figura 1

y

G
F : D ⊂ ℜ3 → ℜ 3

es un campo vectorial que le

asigna a cada punto ( x, y,z ) del espacio, un vector
G
con x = ( x, y,z )

x

G
F ( x, y,z ) = Fx ( x, y,z ) ˆi + Fy ( x, y,z ) ˆj + Fz ( x, y,z ) kˆ .

Figura 2

Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto

VIII. 1

Notemos que las componentes delcampo vectorial son funciones escalares y podemos
G
definir la continuidad de los campos vectoriales y mostrar que F es continuo si y sólo si sus
funciones componentes son contínuas.

VIII.1.2 Representación gráfica. Líneas de flujo.
Un modo de representar un campo vectorial es dibujar en algunos puntos del dominio
(plano o espacio) el vector campo vectorial evaluado en dicho punto, para lo cualsuele ser
útil la construcción de una tabla, tal como se muestra a continuación.

Ejemplo 1
G
Sea F ( x, y ) = y ˆi − x ˆj un campo vectorial sobre ℜ2 ,

y

obtener su representación gráfica.
Solución:

x

Conocida la función, construimos la siguiente tabla:

( x, y )
eje x ( x, 0 )
eje y ( 0 , y )
recta a 45º ( x,x )
recta a 135º ( x, − x )

G
F ( x, y )

( 0,− x )
( y,0 )
( x, − x )
( − x, − x )Figura 3

La información de la tabla es llevada a la figura 3, en la cual se muestra la representación
G
gráfica del campo vectorial F . La representación gráfica de un campo vectorial no es en
todos los casos sencillo, una manera más fácil de lograrlo es mediante el concepto de las
líneas de flujo o líneas de fuerza.
™ Líneas de flujo o líneas de fuerza.

Una línea de flujo de un campo vectoriales una trayectoria, cuya derivada está en la
dirección del campo vectorial, esto es son líneas tangentes en todo punto a la dirección del
campo.
G
G
Si F es un campo vectorial, una línea de flujo o de fuerza para F es una trayectoria
G G
G
G
σ ( t ) tal que: σ′ ( t ) = k F ⎣⎡σ ( t ) ⎦⎤

VIII.2

Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Río Cuarto

Algunas propiedades de estaslíneas es que no pueden cortarse pues, si así fuera,
tendríamos que en ese punto habría dos valores para el mismo campo. Para lograr que las
líneas de flujo nos hablen del módulo del campo (es decir, de su intensidad) se dibujan de
tal manera que la densidad de líneas sea proporcional a dicho módulo.
Por ejemplo, si se tratara de un campo de velocidades, estas líneas coincidirían con lastrayectorias de las partículas (líneas de corriente) ya que su movimiento es consecuencia de
dicho campo. Si además el movimiento es estacionario las trayectorias o líneas de corriente,
que son también las líneas de campo o de flujo, se mantienen dentro de un tubo de
vectores sin cruzarlo. Esta superficie imaginaria, se obtiene a partir de las líneas de flujo que
se apoyan sobre una curva cerrada C...