tema 1 5

ESTADÍSTICA III

1.5. DISTRIBUCIONES
MUESTRALES EN UNA
POBLACIÓN NORMAL CON
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

1

ESTADÍSTICA III

DISTRIBUCIONES MUESTRALES EN POBLACIONES NORMALES
1.

De la media muestral

X  N ...,...

1.1. con varianza conocida
1.1.1
1.1.2

muestras grandes
muestras pequeñas

1.2. con varianza desconocida
1.2.1
1.2.2.

muestras grandes
muestras pequeñas

2.

De la diferencia demedias

3.

De la proporción

4.

…

2

ESTADÍSTICA III

1.5.1

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL
CUANDO SE CONOCE LA VARIANZA POBLACIONAL

Sea (x 1 , x 2 ,....., x n ) una muestra aleatoria de tamaño n, procedente de una población N  ,  ;
Entonces la distribución del estadístico media muestral tendrá una distribución normal 
Si X  N  ,   
  
X  N  ,

n


Si X ¿   ,  
 
T .C.L.  Si n 30  X  N  ,

n


X-

 N  0,1

n

3

ESTADÍSTICA III
Considere una población cuyo comportamiento está caracterizado por el de una v.a. N(  ,  )
N(50,100). Si de tal población se toma una muestra de tamaño n 25. Calcular :
1) La probabilidad de que X  60
2) P(48  x  51)
X  N (50,100)



X




x


60

50


P x  60   P

  P( Z 5) 1; 100%

100

n
25 

51  50 
 48  50
P (48  x 51)  P
Z 

2 
 2
1

P  1  Z   0.5328
2


 100 
X  N 50,

25



X

4

ESTADÍSTICA III

X  N (50,100)
P( x  60)

10 

X  N  50,  x  
5


60

1
e



2
50

60

X

P ( x  60)

60  50 

P( X  60)  P Z 
  P ( Z  5)
2



 60   


 2 2 

Z  N(0,1)

0

5

Z
5

ESTADÍSTICA III
Supóngase que el tiempo queun artículo permanece en stock es
una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (1,7).
De una producción de 100 de estos artículos, calcular la probabilidad
de que el tiempo medio de permanencia en stock de los mismos sea
mayor que 4.5
X~U(1,7)
1
1





si
x

1
,
7

f ( x)  b  a 6
 0 en otro caso
2

a b
b - a
E ( x) 
VAR(x) 
2
12
8
36
E ( x)  4
VAR(x)  3
212

3 
X  N  4,

100


4.5  4 

P( X  4.5)  P Z 
  P ( Z  16) 0.002
0
.
03



6

ESTADÍSTICA III

1.5.2

Distribución de la media muestral cuando no se conoce la varianza poblacional

 
X  N   ,

n

X  
 N (0,1)

n

si no se conoce  
X  
 si n es grande  N(0,1)
S
n
X  
 si n es pequeño t n -1
S
n
" grados de libertad"

7

ESTADÍSTICA III
DIST.MUESTRAL
MEDIA CUANDO
VARIANZA ES CONOCIDA

MEDIA CUANDO
VARIANZA ES DESCONOCIDA



X  N  , 
n


x-
 N(0,1)

n

a) n es grande
S

x  N  , 
n


x-
 N(0,1)
s
n

b) n es pequeño
S

x  N  , 
n


x-
 t n 1
s
n

VARIANZA
proporción

8

ESTADÍSTICA III
DEMOSTRACIÓN:
DISTRIBUCIÓN

x

2

:Recordar

Sea x1,x2,….,xn una muestra aleatoria de tamaño n, procedente de
una poblaciónN(μ, σ). Entonces las variables aleatorias

Xi  
Zi 
 N (0,1)

y
n

 Xi   
2
Z







n


i 1
i 1 
n

2
i

n

9

ESTADÍSTICA III
DISTRIBUCIÓN t-Student: Recordar
Sean U y V dos variables independientes tal que:

U  N (0,1)
V   n2


F

U
 tn
V
n
de snedecor

Fn ,m

 n2
 2
m

cociente entre dos Chi
10

1.5.3

ESTADÍSTICA III

DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL
S2
n1

 xi  x 
 n-1 S 2  
i 1




2

 n-1 S 2
2

2

  n21

2



2

DEMOSTRACIÓN :
2

n
1 n
2
S 
 xi  x  
  xi  x    n  1 S  
n  1 i 1
i 1
2

n

 x      x 
i 1

i

n

2

n

    xi      x   

   x      x   
2

 x  
 x  
 x  
 x  

2

 n  x     2  x      xi   

2

 n  x     2  x     nx  n

2

 n  x     2n  x     x   

2

 n x   

i
i
i

 2  xi      x    


2

i

2
2
2

2

 n  1 S 2    xi     n  x    
2
2
  xi     n  1 S 2 n  x   
2

2



i 1

i

i 1

2



2

2



2

11

ESTADÍSTICA III

x

i

 

2


n  1 S 2


2

2

n x   

2

2





2
n

n  1 S 2  x   
  xi    


...