Tema 1, Cálculo Ii

Tema 1. Funciones reales de varias variables
1. 2. 3. 4. 5. Ejemplos y definiciones Gr´ficas a Conjuntos de nivel L´ ımites Continuidad

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UAH, Dpto. de Matem´ticas, Grado en TICs, C´lculo II. Juan G. Alc´zar, Arantxa Fraile, David Orden. Curso 2012-13 a a a

Ejemplos y Definiciones
∗ Ejemplos elementales • f : D ⊂ R2 → R es una aplicaci´n que a cada valor de D o le asigna un valor en R. –D se llama dominio o conjunto definici´n, (es decir, el o subconjunto de R2 para el que tiene sentido el c´lculo a que propone la expresi´n que define f), se denota como o D o Dom f – f (D) recibe el nombre de imagen de f, se denota como Im f y es el conjunto de los n´meros reales que tienen u por origen al menos un elemento de D. ∗ Ejemplo: Determinamos el dominio e imagen de: √ f (x, y) = xy f(x, y) = √ 1 2
y−x
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Ejemplos y definiciones (ii)
∗ f : D ⊂ R3 → R es una aplicaci´n que a cada valor de o D ⊂ R3 le asigna un valor en R Ejemplo: Calculamos el Dominio e Imagen de: √ 4−(x2 +y 2 +z 2 ) f (x, y, z) = e f (x, y, z) = ln(x + 2y + 3z) Def: Se denomina funci´n devarias variables con dominio de o definici´n D ⊂ Rn , a cualquier aplicaci´n de la forma: o o f : D ⊂ Rn → Rm , n, m ∈ N

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Gr´ficas, curvas de nivel y superficies de nivel a
Def: Se denomina gr´fica de z = f (x, y) al conjunto de a puntos de R3 de la forma (x, y, f (x,y)), con (x, y) ∈ D. En general, si se dan las condiciones de regularidad suficientes, estos puntos forman una superficie. La funci´n o f (x, y) = r2 − (x2 + y 2 )

est´ definida en x2 + y 2 ≤ r2 a y su gr´fica es la superficie: a z= r2 − (x2 + y 2 )

OBS: z = f (x, y) (expresi´n expl´ o ıcita o param´trica) puede e verse tambi´n como F (x, y, z) = f (x, y) − z = 0 (expresi´n e o impl´ ıcita) .
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Gr´ficas, curvas de nivel y superficies de nivel a
Recordamos: • La ecuaci´n de un plano es Ax + By + Cz + D = 0. o • El plano XY es z = 0. Los planos paralelos al XY (por tanto, perpendiculares al eje z) son de la forma z = cte. • El plano XZ es y = 0. Los planos paralelos alXZ son de la forma y = cte. • El plano YZ es x = 0. Los planos paralelos al YZ son de la forma x = cte.

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Gr´ficas, curvas de nivel y superficies de nivel a
Def: Sea f : D ⊂ R2 → R se define la curva de nivel de valor ”c” como el conjunto de puntos (x, y) ∈ D tales que z= f (x, y) = c Ejemplo: Sea f (x, y) = x2 + y 2 y consideremos c = 0, 4, 9, .... Las curvas de nivel est´n formadas por a los puntos de R2 que cumplen la condici´n o x2 + y 2 = 0, x2 + y 2 = 4, x2 + y 2 = 9, . . . Esto es son las circunferencias de √ radio c
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Curvas denivel
Ejercicio Para estas superficies z = f (x, y) determinar el aspecto de su sistema de curvas de nivel f (x, y) = cos( x2 + y 2 ) −10 ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 10

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Curvas de nivel
f (x, y) = 2x2 + 4y 2

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Curvas de nivel

f (x, y) = sen x sen y

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Curvas de nivel
Observaci´n: A veces, para entender c´mo es una superficie o o resulta preferible analizar no sus secciones con planos z = cte., sino las secciones...