Tema 1 Elementos Basicos De Algebra Lineal

Facultad de Derecho y CC. Sociales de Ciudad Real. Matemáticas I
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TEMA 1: ”ELEMENTOS BÁSICOS DE
ÁLGEBRA LINEAL”
1.1- Conceptos preliminares.
Proposición, teorema y axioma
Proposición es toda expresión de la que se posee el conocimiento preciso para poder afirmar
de manera inequívoca si es verdadera o falsa.
Así la proposición "Todas las personas son rubias" esa todas luces falsa, pero no por ello
deja de ser una proposición.
Sin embargo "El planeta Venus es habitable" no es una proposición, en cuanto que
carecemos del conocimiento suficiente para poder afirmar que tal expresión es cierta o falsa.
En todo razonamiento o proceso deductivo, la o las proposiciones que se utilizan como punto
de partida forman lo que se denomina Hipótesis y la proposición ala que se llega como resultado
de tal proceso de denomina Tesis.
Si el mencionado razonamiento es válido, se dice que la hipótesis implica la tesis, lo cual se
simboliza mediante la siguiente representación: H ⇒ T. Donde el símbolo "⇒" se lee "implica".
La consecuencia inmediata que se obtiene de un razonamiento correcto es una nueva
proposición (H ⇒ T) que se denomina Teorema.
Otra lectura que sepuede hacer de la proposición anterior (H ⇒ T) y que es ampliamente
utilizada es decir que:
- H es condición sufiente para que se cumpla T (Basta que H se cumpla para poder
afirmar que T también lo hace)
- T es condición necesaria para que se cumpla H (Necesariamente T ha de cumplirse
para que H pueda hacerlo también, aunque atención, H puede a pesar de ello no
cumplirse por otros motivos. Es porello, que de esta segunda lectura se suele decir más
propiamente que: si T no se cumple entonces podemos afirmar que H tampoco)
Esta nueva proposición (teorema) puede ser utilizada en un nuevo razonamiento para
demostrar y crear por lo tanto, otros nuevos teoremas. De esta forma se puede apreciar que se
produce toda una serie de generación en cascada de nuevos teoremas a partir de lospreviamente
demostrados.
Hay ocasiones en las que nos encontramos con dos proposiciones diferentes que expresan los
mismo, pero desde puntos de vista diferentes. En tal caso se dice que ambas proposiciones son
equivalentes, lo que se simboliza de la siguiente manera: HT.
El símbolo "" se lee "si y sólo si". Es decir, H es cierta si y sólo si T lo es y viceversa.
Este mismo símbolo, pero utilizando la otralectura que hemos hecho antes, se traduce como:
H es condición necesaria y suficiente para T.
Axioma es una proposición verdadera que se admite sin demostración.

Símbolos lógicos
∀ : se lee "para todo elemento".
∃ : se lee "existe al menos un elemento".
∄ : se lee "no existe ningún elemento".

/ : se lee "tal que"
∃! : se lee "existe un único elemento".

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Tema 1: página 1

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Métodos de demostración
● Demostración directa: Sean A y B dos proposiciones, para demostrar que A ⇒ B el método
más sencillo consiste en demostrar que cada vez que A es cierta B también lo es.
● Demostración indirecta: Sean A y B dos proposiciones, se sustituye la demostración
directa A⇒B por lademostración directa noA ⇒ no B.
● Demostración por reducción al absurdo: Sean A y B dos proposiciones, consiste en
sustituir la demostración directa A ⇒ B por la demostración de que las proposiciones A y
noB conducen a un absurdo y de donde A ⇒ B.
● Demostración por inducción o recurrencia: Suponemos que una proposición depende de
un entero "n" y la anotamos A n . Para demostrar que A n es verdadera paracualquier valor del
entero n es suficiente establecer que:
• La proposición A 1 es verdadera.
• Si la proposición es verdadera para una etapa "k" comprobar que también es
verdadera para la etapa "k + 1"
● Contraejemplo: Es un método contundente para demostrar la falsedad de una proposición o
teorema. Basta con encontrar un elemento para el que tal proposición o teorema no sea
cierto.(Basta con...