Tema 1 Mates

VIII
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

1

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES

1.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES

En los Capítulos 6 y 7 hemos estudiado funciones de una variable
independiente de la forma y  f  x  . Sin embargo, en la mayoría de las
situaciones que podemos analizar en economía, hay presentes más de una
variable independiente, por ejemplo: la producción de unaempresa puede
depender de la mano de obra y del capital invertido; o la demanda de un
determinado bien de consumo depender de su precio de venta, de los precios de
otros bienes que compiten con él en el mercado y de la renta disponible. Por esta
razón nos disponemos a estudiar las funciones de varias variables.
Por motivos didácticos, la mayoría de los conceptos se presentarán en primer
lugar en elcaso de funciones de dos variables, donde la representación
geométrica puede realizarse y es posible visualizar estos conceptos, para
posteriormente extenderlos con facilidad a la situación general de funciones de
n variables.
Comenzamos dando la definición de función de dos variables y algunos
ejemplos.
Sea 2      ( x, y) : x, y   el conjunto de puntos del plano y
consideremos D  2un subconjunto de puntos del plano.
Una función escalar de dos variables es una aplicación f que asigna a cada
elemento  x, y  del conjunto D un número real que representamos por f  x, y  .
La función f puede ser expresada de la forma siguiente:
f : D  2  
 x, y   z  f  x , y 

Al conjunto D se le denomina dominio de definición de f , o simplemente
dominio; a las variables x e y ,variables independientes; y a la variable z ,
variable dependiente.
Llamamos rango de f o imagen de f al conjunto de números reales
correspondientes a valores de la función en los distintos puntos del dominio D :
R f   f ( x, y) : ( x, y)  D

Ejemplo 2.1
Sea D   x, y  : x  y  0
sobre D la función f  x, y  

2

un subconjunto de puntos de  2 . Definimos
x2  y 2
.
x y

FUNCIONES DEVARIAS VARIABLES

Para calcular la imagen de un punto  x, y  cualquiera del dominio D , basta
sustituir sus valores en la expresión de la función f . Por ejemplo:
12  02
f 1,0  
1
1 0

f  a, a  1 

a 2  (a  1)2
 2a 2  2a  1
a  (a  1)


Ejemplo 2.2
En una fábrica, la producción Q puede considerarse como una función de la
inversión de capital K y del tamaño L de la fuerza laboral.La siguiente
función, denominada función de producción de Cobb-Douglas, aparece con
frecuencia en el análisis económico:
Q  K , L   AK  L

donde A,  ,  son constantes positivas.


Ejemplo 2.3
La demanda D de un bien de consumo puede ser analizada como una
variable que dependa del precio p del bien y de la renta disponible r del
consumidor. Así, la función de demanda puede expresarse como:D  D  p, r 


OBSERVACIÓN
Cuando realicemos el estudio general de las funciones de varias variables,
representaremos con las letras x e y las variables independientes y con la letra
z , la variable dependiente (Ejemplo 2.1). Sin embargo, es frecuente en
economía representar las variables dependientes e independientes con otras letras
relacionadas con el significado de la correspondientevariable: D (demanda), p
(precio), r (renta), K (capital), ... (véanse los Ejemplos 2.2 y 2.3)
Hemos estudiado varios ejemplos de funciones de 2 variables. La
generalización al caso de n variables es sencilla.
Sea D un subconjunto del espacio n   x1 , x2 ,..., xn  : xi   .
Una función escalar de n variables es una aplicación f que asigna a cada
punto  x1 , x2 ,..., xn  del conjunto D un úniconúmero real que representamos por

f  x1 , x2 ,..., xn  .

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DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES

La función f puede ser expresada así:
f : D  n  
 x1 , x2 ,..., xn   z  f  x1 , x2 ,..., xn 

Usando una notación más abreviada, si llamamos x a

 x1 , x2 ,..., xn  ,

una

función real de n variables puede representarse en forma vectorial por z  f  x 
.
Ejemplo 2.4...