Tema 1 Oposiciones Matemáticas

TEMAS DE MATEMÁTICAS
(Oposiciones de Secundaria)
TEMA 1
EL NÚMERO NATURAL. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.

1. Introducción.
2. Construcción de Ð.
2.1. Definición Axiomática.
2.2. Forma Constructiva.
3. Adición de Números Naturales.
3.1. Definición.
3.2. Propiedades.
3.2.1. Asociativa.
3.2.2. Existencia de Elemento Neutro.
3.2.3. Conmutativa.
4. Producto de Números Naturales.
4.1.Definición.
4.2. Propiedades.
4.2.1. Distributiva del Producto respecto de la Adición.
4.2.2. Existencia de Elemento Absorbente.
4.2.3. Existencia de Elemento Neutro.
4.2.4. Conmutativa.
4.2.5. Asociativa.
4.3. Conclusiones.
5. Orden en Ð.
6. Otras propiedades de Ð.
7. Conjuntos Finitos.
8. División Euclídea.
9. Sistemas de Numeración.
9.1. Cambio de sistemas de numeración.
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TEMA 1
EL NÚMERO NATURAL. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.
1. INTRODUCCIÓN.
Los números naturales aparecen debido a la necesidad que tiene el hombre de
contar. Un número cualquiera como el “5” es una abstracción, es una determinada
propiedad de algunos conjuntos.
Podemos construir los números naturales de dos maneras:
a) Desde el punto de vista axiomático.
b) De manera constructiva, conayuda de la Teoría de Conjuntos.
2. CONSTRUCCIÓN DE Ð .
2.1. Definición Axiomática.
Construimos Ð con un número infinito de elementos, todos ellos distintos, llamados
números naturales.
Ð={0, 1, 2, 3, 4,…}
Cada uno de los símbolos anteriores, excepto el que figura en primer lugar, es el
siguiente de aquel que le precede.
Se verifican los siguientes axiomas, llamados postulados de Peano:Axioma 1: 0∈Ð
Axioma 2: A cada número a∈Ð se le asigna un siguiente s(a)=a* que también es
natural y se verifica:
∀a; a∈Ð ⇒ ∃S(a)∈Ð / ∀a; a∈Ð ∧ ∀b; b∈Ð, si a=b ⇒ S(a)=S(b)
Axioma 3: No existe ningún natural cuyo siguiente sea el 0.
∀a; a∈Ð ⇒ S(a)≠0
Axioma 4: ∀a, b∈Ð S(a)=S(b) ⇒ a=b
Axioma 5 (de inducción matemática o inducción completa):
∀K, K⊂Ð / 0∈K y ∀a, a∈K ⇒ S(a)∈K ⇒ K=Ð
También esposible establecer el uno “1” como primer número natural, siendo la
construcción la misma.

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PROPIEDADES
1) ∀a, b∈Ð, si a≠b ⇒ a*≠b*

(axioma 4)

2) ∀a∈Ð ⇒ a≠a*

(axioma 5)

Construimos K={a / a∈Ð y a≠a*}
Veamos que K⊂Ð. Por el axioma 3: 0∈K.
Supongamos que a∈K ⇒ a*≠(a*)* ⇒ a*∈K ⇒ K∈Ð
3) ∀a∈Ð y a≠0 ⇒ ∃b∈Ð / a=b*
Construimos K={0}∪{a∈Ð; ∃b∈Ð ∩ a=b*}
K≠0, ya que 0∈K. Supongamosa∈K, como K contiene todos los siguientes,
a*∈K ⇒ K=Ð
2.2. Forma Constructiva.
DEF Si K es un conjunto, llamamos siguiente de K al conjunto K*=K∪{K}
A partir de este momento designaremos al conjunto ∅ por el símbolo 0.
∅=0
0* = 0∪{0} = {0} = 1
1* = 1∪{1} = {0, 1} = 2
2* = 2∪{2} = {0, 1}∪{2} = 3
…
Hemos de asegurarnos de que este proceso puede continuar de forma indefinida y
que llegamosa obtener un determinado conjunto “infinito”. Para ello necesitamos el
Axioma del Infinito.
AXIOMA DEL INFINITO
Existe al menos un conjunto K0 que cumple:
a) 0∈K0
b) a∈K0 ⇒ a*∈K0
(Decimos que K0 es recurrente)
Sea ahora K la familia de todos los conjuntos que verifican el axioma anterior
(conjuntos recurrentes) y llamamos Ð=∩K con K∈K.
Ð es no vacío, ya que al menos existe un conjuntorecurrente.
Ð es recurrente (es trivial su comprobación).
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Ð es el conjunto recurrente más pequeño, ya que si K es un conjunto recurrente, por
definición de Ð se tiene que verificar que N⊂K.
El conjunto Ð definido anteriormente verifica los axiomas de Peano vistos
anteriormente.
Por la construcción de Ð, los axiomas 1, 2 y 5 son evidentes.
El axioma 3 se verifica si tenemos en cuentaque n*=n∪{n}=∅, entonces {n}=∅ y
de aquí n∈∅, lo que no tiene sentido.
Para poder comprobar el axioma 4 necesitamos de unos resultados previos:
DEF Un conjunto K es Transitivo ⇔ ∀a (a∈K ⇒ a⊂K)
LEMA Todo número natural es transitivo
dem.
Vamos a realizar la demostración por inducción.
Llamamos C={n∈Ð / n es transitivo}
1) 0∈C, porque 0 es vacío y se cumple la condición por vacuidad.
2)...