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Ecuaciones Diferenciales
Tema 1. Parte 1: Ecuaciones Diferenciales
Ester Simó Mezquita
Matemática Aplicada IV

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Tema 1. Ecuaciones Diferenciales

Tema 1. Ecuaciones Diferenciales
1.

¿Qué es una Ecuación Diferencial Ordinaria?

2.

Solución de una EDO

3.

Tipos de EDO
Solución de EDO de variables separables
Algunas EDO en la ingeniería y la ciencia

4.
5.

2

Tema 1. Ecuaciones Diferenciales1. ¿Qué es una Ecuación Diferencial Ordinaria?
Llamaremos Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) a una ecuación que
relaciona la variable independiente , la función incógnita
y
sus derivadas

Un ejemplo es la ecuación:

El objetivo de la resolución de una EDO consiste en determinar la función
incógnita

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Tema 1. Ecuaciones Diferenciales

1. ¿Qué es una Ecuación Diferencial Ordinaria?
Másejemplos de ecuaciones diferenciales serían:

El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden
que aparece en la ecuación

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Tema 1. Ecuaciones Diferenciales

2. Solución de una EDO
Consideremos

Encontrar la solución implica buscar una función
tal que cuando calculamos
su derivada y la sustituimos en la EDO obtenemos una igualdad.
Probemos con

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2. Solución de una EDO

Notar que podíamos sustituir el número 3 por cualquier otro número real y
también continuaríamos teniendo una solución

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2. Solución de una EDO

Buscamos una función
cuya derivada sea
primitiva o integral indefinida de

, es decir una

Esta expresión que contiene una constante arbitraria C se llama la
solución general de la EDO,mientras que si hacemos C=3 tenemos
una solución particular de la EDO

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2. Solución de una EDO
Se llama solución general de una EDO de primer orden a una función

que depende de una constante arbitraria C y que cumple las condiciones:
1. Ésta satisface la EDO para cualesquiera valores de la constante
2. Cualquiera que sea la condición inicial
siempre se puedeasignar un valor
a la constante tal que la función
satisfaga la EDO dada

Se llama solución particular de la EDO a la que se obtiene de la solución
general asignando cualquier valor determinado a la constante arbitraria

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2. Solución de una EDO
Consideremos la siguiente ecuación diferencial de orden 2

1. Verifiquemos el hecho de que
y
de la EDO
2. Comprobemosque cualquier función de la forma

son ambas soluciones

también es solución de la ecuación diferencial
Notar que:
1. Cuando resolvemos una EDO de orden 2, esperamos obtener una
solución general que es función de 2 constantes indeterminadas y de
dos soluciones independientes
2. Mientras que una solución particular de una EDO es una solución que no
contiene ninguna constante.
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Tema 1. EcuacionesDiferenciales

2. Solución de una EDO
Se llama solución general de una EDO de orden

que depende de

a una función

constantes arbitrarias y que cumple las condiciones:

1. Ésta satisface la EDO para cualesquiera valores de las constantes
2. Cualquiera que sea un conjunto completo de condiciones iniciales
siempre se puede asignar valores a las constantes
de manera que la función
satisfaga la EDOdada
Notar que:
Dada una EDO de orden , un conjunto completo de condiciones iniciales
es un conjunto de los valores de y de sus derivadas hasta orden
en el punto inicial
:
Se llama solución particular de la EDO a la que se obtiene de la solución
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Tema 1. Ecuaciones Diferenciales
general asignando cualquier valor determinado a la constante arbitraria

2. Solución de una EDO
Dada
con solucióngeneral

Se llama solución particular de la EDO a la que se obtiene de la solución
general asignando cualquier valor determinado a las constantes arbitrarias
Se llama problema de condiciones iniciales o problema de Cauchy al
problema de encontrar una solución
de la EDO de orden dado un
conjunto completo de condiciones iniciales especificado

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Tema 1. Ecuaciones Diferenciales

2. Solución de una...