TEMA 1

TASA DE VARIACIÓN MEDIA.
Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx).Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h.
Δy =[f(a+h) − f(a)]
Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por ó , al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje deabscisas, h ó Δx, esto es:

Interpretación geométrica
La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos de abscisas a y a+h.

ya que en eltriángulo PQR resulta que:

CONCEPTO DE DERIVADA EN UN PUNTO: La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de la TVM cuando el incremento de la variable tiende acero.


Ejemplo: Hallar la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.



Calcular la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.




Por lo dicho anteriormente y por la interpretacióngeométrica de la TVM se puede definir la derivada de una función f(x) en un punto x0 -f’(x0) - como la pendiente de la tangente a la gráfica de esa función en el punto (x0, f(x0)).
mt = f'(x0)
Ejemplo1: Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto supendiente es m= 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.

FUNCIÓN DERIVADA.
La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada númeroreal su derivada, si existe. Se denota por f'(x).

Calcular la función derivada de f(x) = x2 − x + 1.





Hallar f'(−1), f'(0) y f'(1) f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3 f'(0) = 2(0) − 1 = −1
f'(1) = 2(1)...