Tema 1

Tema 1: Combinatoria
C. Ortiz, A. Méndez, E. Martín y J. Sendra
Febrero de 2011

Índice
Guía del tema

2

1. Introducción

1

2. Principios básicos del conteo

1

3. Variaciones

2

4. Permutaciones

4

5. Permutaciones circulares.

5

6. Permutaciones con repetición.

6

7. Combinaciones

8

8. Números Combinatorios

9

9. Combinaciones con repetición

11

10. Aplicaciones

12

11. Resumen

14Referencias

15

1

Matemática Discreta (UPM). Curso 2010/11. 2o semestre

Martín, E.; Méndez, A.; Ortiz, C.; Sendra, J.

Guía del tema 1

Asignatura:

Matemática Discreta

Titulo de la Unidad:

Combinatoria

Semanas de impartición en el cuatrimestre:

2 semanas

Requisitos para seguir con aprovechamiento el tema
Repasar los conceptos relativos a conjuntos estudiados previamente.
Consultar labibliografía recomendada para la unidad.
Manejar con soltura el álgebra de polinomios.
Objetivos
Objetivo general: Conocer y aplicar los principios elementales del conteo
Objetivos Específicos:
Generar las posibles agrupaciones con una determinada característica.
Distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones.
Calcular el número de distintas agrupaciones.
Adquirir destreza operativa enla resolución de ejercicios y problemas de combinatoria.
Utilizar herramientas informáticas para plantear, resolver y explicar problemas de combinatoria.
Analizar la importancia de las técnicas presentadas como herramienta para resolver problemas de recuento.
Contenidos teóricos
Introducción
Principios básicos del conteo
Variaciones simples
Variaciones con repetición

2

Matemática Discreta (UPM).Curso 2010/11. 2o semestre

Martín, E.; Méndez, A.; Ortiz, C.; Sendra, J.

Permutaciones simples
Permutaciones circulares
Permutaciones con repetición
Combinaciones simples
Números combinatorios
Combinaciones con repetición
Evaluación Se entregarán los ejercicios propuestos antes de la fecha límite

lunes 14 de marzo de 2011

3

Matemática Discreta (UPM). Curso 2010/11. 2o semestre

1.

Martín,E.; Méndez, A.; Ortiz, C.; Sendra, J.

Introducción
La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar

agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número. Existen distintas
formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar
todos los elementos de que disponemos o no y si influye ono el orden de colocación de los elementos.
El desarrollo de la combinatoria está fuertemente ligado con su aplicación en la teoría de la probabilidad,
pero también es importante en otras ciencias como la informática, por ejemplo en la teoría de la
codificación y en el análisis de algoritmos.

2.

Principios básicos del conteo
Iniciaremos nuestro estudio enunciando los principios fundamentalesdel conteo

Proposición 2.1. Principio aditivo o Regla de la suma. Sean A y B son dos sucesos que no
pueden ocurrir simultáneamente. Si el suceso A ocurre de m maneras distintas y el B de n maneras
distintas, entonces el suceso A o el B se podrá ocurrir de m + n maneras distintas.
Ejemplo 2.1. Supongamos que en un cine se proyectan tres películas diferentes por la mañana y cinco
por la tarde. Si sedesea ver una sola película. ¿ Cuántas opciones tenemos?. Sea A el suceso: Ver una
película por la mañana y B el suceso: Ver una película por la tarde.
Como hay tres películas diferentes por la mañana y cinco por la tarde , el suceso A se puede presentar
de 3 maneras distintas y el B de 5. Como no ocurren simultáneamente, o vas por la mañana o por la
tarde . Aplicando la regla anterior, el totalde opciones de ver una sola película será: 3 + 5 = 8
Observación 2.1. la regla anterior se puede aplicar a más de dos sucesos siempre que sean disjuntos
dos a dos, es decir, que cada par de tareas no puedan ocurrir simultáneamente.
Proposición 2.2. Principio multiplicativo o Regla del producto. Si un suceso A puede ocurrir
en m maneras e, independientemente, un segundo suceso B puede ocurrir en n...