TEMA 1

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES
1. VECTORES Y MATRICES
1.1. Definición de vector. Operaciones elementales
1.2. Matrices. Operaciones elementales
1.3. Traza y Determinante
1.4. Aplicaciones
1. VECTORES Y MATRICES
1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR. OPERACIONES ELEMENTALES
1.1.1. Definición de Vector.
1.1.2. Operaciones elementales.
1.1.3. Combinaciones lineales. Dependencia Independencia Lineal
1.1.1.CONCEPTO DE VECTOR
a) SEGMENTO ORIENTADO
S B




ELEMENTOS DE UN VECTOR:
MÓDULO: longitud del segmento DIRECCIÓN : recta que contiene al segmento SENTIDO: orientación
1. VECTORES Y MATRICES
1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR. OPERACIONES ELEMENTALES
1.1.1. CONCEPTO DE VECTOR
b) VECTOR LIBRE
CONSIDEREMOS SEGMENTOS ORIENTADOS CON MISMO MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO


¿qué característica tienen en común?







y

xComponentes del vector
1.1.1. CONCEPTO DE VECTOR
c) ESTRUCTURA DE DATOS: COMPONENTES
u = (ulfu2) con uiru2 *= ^ decimos qi¿c u G R2 ñ = (ifi, 112,1*3) con ulru2ru3 e fí decimos qitc ü E R3
MÓDULO DE UN VECTOR
= ...,1a*) E fí71: |u| = 7^1 + "* +

Ejemplo: Calcular el módulo de (3,5), (2,-7), (1,5,8) COMPONENTES DE UN VECTOR A PARTIR DE SUS EXTREMOS
Ejemplo: Dados los puntos A(1,5), B(2,7), C(3,8)determinar las componentes de los vectores ABfACfBCfCA
1. VECTORES Y MATRICES
1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR. OPERACIONES ELEMENTALES
1.1.1. CONCEPTO DE VECTOR : EJERCICIOS
1. Calcula el módulo de los siguientes vectores:
a) (3,7) b) (8,3,-2) c) (-3,1,0) d) (3,2,1/2,1/2)
2. Determina las componentes de los vectores indicados, a partir de los puntos señalados:
a) A(l,3) B(6,-7) vector: AB b) C(3,2,l)D(6,-l,7) vector DC
c) E(l,8,-4) F(3,7,l) vector EF
3. Dados los vectores de componentes indicadas, y del extremo inicial, determina las coordenadas del extremo final:
A) SUMA DE VECTORES

B) DIFERENCIA DE VECTORES

1. VECTORES Y MATRICES
1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR. OPERACIONES ELEMENTALES
1.1.2. OPERACIONES CON VECTORES
C) PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
DEFINICIÓN: Sean ñ = (u1f u2,...,un) y kun número real, se define el producto del escalar k por el vector ñ, como kñ = (ku1f k u2,..., k un)

1.1.2. OPERACIONES CON VECTORES
D) PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES
Sean ü, v, w G Rn se verifican las siguientes propiedades:
1) CONMUTATIVA: ñ + v — v + ñ
2) ASOCIATIVA: (ü + v) + w = ñ + (v + w)
3) EXISTENCIA DE ELEMENTO NEUTRO: Existe un vector de Rn VECTOR NULO 0 = (0,...,0) que verifica:
ñ+ 0 = 0 + ñ = ñ
4) TODO VECTOR TIENE OPUESTO.
Todo vector ñ G Rn tiene un vector opuesto v = —ñ tal que
EJEMPLO: Comprobar:
1) (1,3)+(5,2)=(5,2)+(1,3)
2) ((1,4)+(3/5))+(0,-3)=(1,4)+((3/5)+(0,-3))
3) (3,2)+(0,0)=
4) (6,-7) +(-6,7)=
1.1.2. OPERACIONES CON VECTORES
E) PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE ESCALAR POR VECTOR
Sean ü, v E Rn y sean a, p E R, se verifican las siguientes propiedades:
1)DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA SUMA DE VECTORES:
a(ñ + v) = añ + av
2) DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA SUMA DE ESCALARES:
(a + )ü = añ + pü
3) PSEUDOASOCIATIVA a (pu) = (ap)ñ
4) EXISTENCIA ELEMENTO UNIDAD: 1ü = ñ

VECTORES + PROPIEDADES SUMA + PROPIEDADES PRODUCTO ESCALAR:
ESPACIO VECTORIAL
EJEMPLO: Comprobar:
1) 3((2,3)+(1,-2))=3(2,3)+3(1,-2)
2) (5+7) (1,2) = 5(1,2)+7(1,2)
3) 3(-7 (2,8))=(3(-7))(2,8)
F) VECTORESUNITARIOS
DEFINICIÓN VECTOR UNITARIO:
Diremos que el vector u = (u1t u2,..., un) es unitario si su módulo es 1, es decir:
| U | = J U1 + ••• + Un = 1
1 1
EJEMPLO: Dados los vectores (1,3,7), (1,0,0) y (^= ,^=, 0), determina los que sean unitarios.
CONSTRUCCIÓN DE VECTOR UNITARIO
Sea ü — (^,*¿2, si |ü| = a entonces el vector:
EJEMPLO: Dado el vector ü =(1,2,3) construye un vector unitario que tengala misma dirección y sentido que ü
G) PRODUCTO ESCALAR
Sean los vectores ñ — (uj, u2,..., un) , v — (v1, v2,■■■, vn)
Se define el producto de escalar de dichos vectores como:
u •v — \u\ • \v| • cosu/v
O bien
u •v — u1 •v1+ u2 • v2 + . + un^vn
EJEMPLOS:
1) Dados los vectores ü = (3,6) y v = (2,7) calcula ü ■ v
2) Dados los vectores ü = (1,5) y v = (1, a) de R2. Determinar el valor de a para...