Tema 1

1. Números Reales
1.1 Clasificación y propiedades
1.1.1 Definición
Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales
pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal
exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Número Naturales (N): números con los que contamos (también se les llamaenteros positivos.

{1, 2,3, 4...} )

Enteros (E): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos
(negativos) y el cero.

{..., −2, −1, 0,1, 2,...} .

Racionales: conjunto formado por todos los números que se pueden escribir
en la forma m , donde m y n son enteros
n

n ≠ 0.

Número Reales (R): todos los racionales y los irracionales. Los números
racionales tienen representaciones decimalesrepetitivas (periódicas), en tanto
que los irracionales tienen representaciones no repetitivas infinitas.
1.1.2 PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
Si a, b y c son nombres de objetos, tenemos:
Propiedad reflexiva: a = a
Propiedad simétrica: Si

a = b , entonces: b = a

a = b y b = c , entonces: a = c
Principio de sustitución: Si ,
cualquiera de las dos puede reemplazar
a
=
b
a la otra en una proposición,sin alterar la verdad o falsedad de dicha
Propiedad transitiva: Si

proposición
1.2 Interpretación geométrica de los números reales
Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los
puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto
al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y
con ella se representan todos losnúmeros enteros.

Unidad (u)

-4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la
recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante
aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la
recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en
la recta (correspondencia biunívoca). Poreso a la recta graduada de tal
manera se la denomina recta real.

1.5.3 Definición de igualdad y sus propiedades
El signo de igualdad (=) se emplea para unir dos expresiones, cuando ambas
son los nombres o descripciones del mismo objeto.

a = b significa que a y b son dos nombres del mismo objeto. Naturalmente
a ≠ b , significa a no es igual a b.
Si dos expresiones algebraicas con una o másvariables se unen mediante el
signo igual, la forma así obtenida recibe el nombre de ecuación algebraica.

1.3 Desigualdades lineales , cuadrática y propiedades
Es sorprendente la cantidad de propiedades que se pueden desprender de los
primeros seis axiomas, sin embargo el álgebra de los números reales no queda
reducida a dichos axiomas; éstos se complementan con un orden que nos
permitirá, además detener una estructura más completa, poder hacer analogías y
aplicaciones más complejas que las que se podrían tener con los axiomas de
campo. Por ejemplo, se podrá construir un modelo para el movimiento, o también
obtener el área y volumen de figuras geométricas no simples, análisis de variables
que cambian continuamente con respecto al tiempo y muchas otras aplicaciones
físicas.
La idea medular delorden en los números reales es que se pueden dividir los
números en tres conjuntos, positivos, negativos y cero. Y que es posible

establecer un orden total en los números reales. Estas ideas se pueden resumir en
tres propiedades.
Axiomas de orden:
El conjunto de los números reales tiene un subconjunto, llamado conjunto de
números reales positivos R+ el cual satisface los siguientes axiomas.
Axioma1.7 a, b en R+ => a+b, ab en R+
Axioma 1.8 Si a está en R y a ≠ 0 entonces una de las dos condiciones de cumple
a ∈ R+ o -a ∈ R+ .

Axioma 1.9 El número 0 no está en R+
Si un número no es positivo ni 0 se dice que es negativo, o sea que un número a
es negativo si -a es positivo por el axioma 2.8.
Existe otra forma muy popular en nuestros días de presentar el orden en los
números reales por...