TEMA 1

Profa.Thania González

1

Consideraciones previas
El término función inversa supone que la función
que se estudie sea uno a uno. En el caso de las
seis funciones trigonométricas que se ha
estudiado no cumplen con esta propiedad, debido
a que son periódicas y como se sabe el criterio de
la recta horizontal corta a las gráficas en infinitos
puntos.

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2

Función seno
Para lafunción f(x) = sen x

Dom f = [-/2, /2]
Ran f = [-1,1]

Criterio de la
recta horizontal

Para determinar el dominio de la función de f,
se le restringe en un dominio.
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3

Función seno inverso (sen-1)

Dom f -1 = [-1,1]
Ran f -1 = [-/2,  /2]
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4

Función coseno
Para la función y = cos x

Dom f = [0, ]
Ran f = [-1,1]

Criterio de la
recta horizontalPara determinar el dominio de la función de f,
se le restringe en un dominio.
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5

Función coseno inverso (cos-1)
Para f(x) = cos x, para 0 ≤ x ≤ 
Tenemos f -1(x) = cos-1(x) = arccos x

Dom f -1 = [-1,1]
Ran f -1 = [0,]
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6

Función tangente
Para la función y = tan x

Dom f = (- /2, /2)
Ran f = (-,+)

Criterio de la
recta horizontal

Paradeterminar el dominio de la función de f,
se le restringe en un dominio.
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7

Función tangente inversa (tan-1)
Para f(x) = tan x, para -/2 < x < /2.
Tenemos f -1(x) = tan-1(x) = arctan x

Dom f -1 = R
Ran f -1 = (-/2, /2)
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Ejemplos. Evaluación de las funciones
Trigonométricas inversas
Encuentre sin calculadora el valor exacto de:
 1
1) sen   
 21

Por definición
 1   sen y   1
y  arcsen  
2
 2
  
 2 , 2 

En el intervalo
el

Valor correcto de y es  6
2) tan 1

3
3




6
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Composición de funciones trigonométricas
y funciones trigonométricas inversas
Las ecuaciones siguientes son siempre verdaderas,
si están definidas:

sen (sen1 (x))  x

cos (cos1 (x))  x
tan (tan1 (x))  xProfa.Thania González

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Composición de funciones trigonométricas
y funciones trigonométricas inversas
Las siguiente ecuaciones sólo son verdaderas para valores de x
en el dominio restringido de sen, cos y tan:

sen1(sen (x))  x

cos1(cos (x))  x
tan1(tan (x))  x

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Ejemplos. Resolución de una ecuación

Despeje x:

1)

1
arcsen(3x -  ) 
2

arcsen 2x  ar cos x

2)

1senarcsen(3x -  )  sen
2
1
3x    sen
2
1
sen  
2
x
3
x  1.027







sen arcsen 2x  sen ar cos x

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

2x  1  x

2 x 1  x
1
x
3

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15

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1)

y  arcsenx 2

u´
y  arcsenu  y´ 
1  u2

y' 

x '
1  x 
2

2 2

2x
y' 
1  x4

y  x 2 cos 1 2x

2)

y u  v  y´  u  v' u' v

y '  x 2 arccos 2x ' x 2 ' arccos 2x 
 u´
y  arc cos u  y´ 
1  u2

   2x ' 
2


y '  x 

2
x
arccos

x
2 2
 1   x  
  2 x 1 ' 
2
y '  x 
  2 x arccos 2x 
4
 1  x2 
2

y  u n  y´  nu n1  u'

 2 x 2 
y '  x  2   2 x arccos 2x 
 x x 24 


2

 2 
y '  x  2 2   2 x arccos 2x 
 x x x24 


 2 
y '   2   2 x arccos 2x 
 x x24 


2



2
2
y'  
  2 x arccos x 
2
1
x x 4
 2x 
y'   2
 2 x arccos 2x 

 x 4

 1
  2 1x 11x ' 
2
y
'

2
x

arccos
x
 x 2  4
  2x arccos 2x 
y '  x2 

2
x 4


x2


17
Profa.Thania González

Profa.Thania González

18

1
2

1)



0

sen x

1

2

2

sen1x
1 x2

dx

1
2

02
2
1 
1

1
1
  sen
  sen 0 
2 
2


2

1   
2
    0 
2  4 




sen1x
1 x2



dx

u
1 x

2

 1  x 2 dv

v  sen 1 x
1
dv 
dx
2
1 x
1  x 2 dv  dx

  vdv
v2
 C
2

1  2 
  
2 16 



1 2
  0,308
32

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2)



 
1
4

u

du
u2  a2

dx
4 x x2 16

dx
x x 2 16



u
1
ar sec  C , a  0
a
a

ux
du  dx

a2...