Tema_1_

Tema 1: Modelos de distribución de probabilidad relacionados con la Distribución Normal

Estadística Empresarial II

TEMA 1: Modelos de distribución de probabilidad relacionados con la

Distribución Normal.
1.1. Distribución Normal o de Gauss: N(;2) y N(0;1). Revisión.
Se dice que una variable aleatoria se distribuye según un modelo Normal de parámetros ( ; 2) si su función de densidad es:
1( x   )2


1
f ( x;  ,  2 ) 
e 2
 2



2



1
2



1
2

 (2 )  ( 2 )  e



1 ( x   )2
2 2

 x 

con    
  0


Esta función es simétrica respecto a  y de forma acampanada, su representación gráfica es la “campana de Gauss”:

Su media y su varianza son:

E    

y

V     2

Propiedad: Cualquier combinación lineal de variables aleatorias, cada una condistribución de probabilidad según el modelo Normal, se distribuye también según una Normal
de parámetros, si las variables son independientes en probabilidad, los que se exponen
a continuación:
Sean

i ~ N  i ;

2
i



n
 n
2 2
c

~
N
c

;
c
i 
i  1,..., n   i i


i
i
i

i 1
i 1
 i 1

n

n
 n
2
Si consideramos simplemente la suma de las variables:  i ~ N   i ;  i 
i 1
i1
 i 1

n

n

Y si tienen la misma media  y la misma varianza  :
2

Departamento de Estadística e Investigación Operativa II (Métodos de Decisión)


i 1

i

~ N  n ; n 2 

1

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Una variable aleatoria ’ se distribuirá según una Normal (0;1) si su función de densidades igual a:
1
1
1
 x2

 x2
1
2
2
f ' ( x ) 
e
 (2 )  e 2
2

Siendo su representación gráfica:

f(x)

Función de densidad N(0;1)

-6

-4

-2

0

2

4

6

valores

Se puede determinar que:

E  '  0

y

V  '  1

La variable ’ N(0;1) se obtiene tipificando o “estandarizando” una variable   N(;2)

'

 




   ' 

Las probabilidades de que los valores de la variable’ N(0;1) pertenezcan a un intervalo determinado se pueden calcular por medio de sus Tablas. Para calcular la probabilidad de que una variable   N(;2) cualquiera pertenezca a un determinado intervalo
lo haremos utilizando su relación con la variable ’:

K 

K 
P   K   P  ' 

F

'


 

  

b
b
a  
a  
b 
a
P  a    b  P 
'

P


'


F
F

'

'




 
 
 
 
  
  

2

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1.2. Distribución Chi-cuadrado ó

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 2 de Pearson.

Se dice que una variable aleatoria se distribuye según un modelo de distribución Chicuadrado oJi-cuadrado de Pearson con “n” grados de libertad y se representa por  n ,
si es igual a una suma de “n” variables independientes, cada una de ellas Normal(0;1) y
elevadas al cuadrado. Es decir:
2

n

      ...    i2
2
n

2
1

2
2

2
n

i 1

siendo

i  N(0;1) e independientes para i = 1, … , n

Como se puede observar el número de grados de libertad se corresponde con el número devariables N(0;1) que intervienen en su definición.
Su función de densidad es asimétrica por la derecha y, a partir de n>3, su representación gráfica es, aproximadamente:

f. de densidad de ji-cuadrado con 20 grados de
libertad
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
0

10

20

30

40

50

60

valores

Se pueden obtener su Media o Esperanza matemática y su Varianza que son, respectivamente:

E   n2  n

V   n2   2n

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Propiedad aditiva:
Si

2
n2 , n2 ,..., n2 son k variables aleatorias, todas con distribución  e independien1

2

k

tes, entonces su suma se distribuirá también según...