Tema_1
1. Calculo
en una variable
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1. Calculo
en una variable
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Calculo
- Escuela Universitaria Politecnica
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˜ Ruiz
M.A. Atencia Ruiz, J.M. Gonzalez
Vida, T. Morales de Luna, M.L. Munoz
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Departamento de Matematica
Aplicada
´
Universidad de Malaga
´
1. Calculo
en una variable
´Indice
1
El numero
real y complejo
´
La recta real
El numero
complejo
´
2
Funciones de una variable. L´ımites ycontinuidad
´
Introduccion
L´ımites
Continuidad
3
´
Derivacion
´
Introduccion
Derivadas
Polinomio de Taylor
4
´
Integracion
´
Introduccion
´
La integral indefinida. Calculo
de primitivas
´
´
La integral definida. Calculo
de areas
y volumenes
´
´
1. Calculo
en una variable
El numero
real y complejo
´
La recta real
´Indice
1
El numero
real y complejo
´
La recta real
El numero
complejo
´
2Funciones de una variable. L´ımites y continuidad
´
Introduccion
L´ımites
Continuidad
3
´
Derivacion
´
Introduccion
Derivadas
Polinomio de Taylor
4
´
Integracion
´
Introduccion
´
La integral indefinida. Calculo
de primitivas
´
´
La integral definida. Calculo
de areas
y volumenes
´
´
1. Calculo
en una variable
El numero
real y complejo
´
La recta real
Conceptos previos
Recordemos algunasnotaciones referentes a la teor´ıa de conjuntos. Denotaremos por
letras mayusculas
(A, B, C, ...) a los conjuntos y por letras minusculas
(a, b, c, ...) a
´
´
sus elementos.
a ∈ A se lee: “el elemento a pertenece al conjunto A”.
a∈
/ A se lee: “el elemento a no pertenece al conjunto A”.
A ⊂ B se lee: “A es un subconjunto de B”, y significa que cualquier elemento de
´ en B.
A esta´ tambien
´ B”, y es unnuevo conjunto formado por los elementos de A
A ∪ B se lee: “A union
junto con los de B. Claramente, A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B.
´ B”, y es el conjunto formado por los elementos que
A ∩ B se lee: “A interseccion
´ a la vez en A y en B. Claramente, A ∩ B ⊂ A y A ∩ B ⊂ B.
estan
A − B se lee: “A menos B”, y es el conjunto formado por los elementos de A que
´ en B.
no estan
´ que no posee ningun
∅ es elconjunto vac´ıo, aquel
´ elemento.
Un conjunto puede definirse de dos formas: dando todos sus elementos o dando la
propiedad (o propiedades) que define a sus elementos. Por ejemplo, el conjunto A
formado por los numeros
pares menores que 10 puede darse como A = {2, 4, 6, 8} o
´
bien como A = {numeros
pares menores que 10}.
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Ejemplo 1
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1. Calculo
en una variable
El numero
real y complejo
´
Larecta real
Definiciones
Definiciones
Los naturales son los numeros
que sirven para contar: N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
´
´ o no del cero dentro del conjunto de los numeros
(La inclusion
naturales es una
´
´ de contexto y de convenio).
cuestion
Los enteros son los naturales con signo: Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Los racionales son las fracciones de la forma
distinto de cero. Losdenotaremos por Q.
m
,
n
donde m, n ∈ Z, siendo n
Los reales son todos los numeros
que conocemos, y se denotan por R. Los
´
representaremos como una l´ınea recta, la recta real.
Los irracionales son los numeros
reales que no son racionales. Los
´
denotaremos por I.
Tenemos las siguientes inclusiones: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R y I ⊂ R.
Por otro lado, R = Q ∪ I y Q ∩ I = ∅.
´
´
Notese
que los racionales poseendesarrollos decimales finitos o periodicos,
como
12 56, −3 567, 67 52525252... En
√ cambio, los irracionales tienen desarrollos decimales
´
infinitos y no periodicos,
como 2 = 1 41421356..., π = 3 14159265..., e = 2 718281...
˜
Cabe senalar
que los racionales son lo que se conoce como densos en R, esto es,
dado un numero
real x, existe un racional q tan cerca de x como queramos.
´
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1. Calculo
en unavariable
El numero
real y complejo
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La recta real
Orden y desigualdades
Los numeros
reales pueden ordenarse. Dados a, b ∈ R, diremos que a < b (“a es
´
´
menor que b”) si a queda a la izquierda de b en la recta real. De modo analogo
se
definen a > b, a = b, a ≤ b y a ≥ b.
´
Las propiedades basicas
de las relaciones de orden (<, >, ≤ y ≥) son las siguientes
´ con <):
(las escribimos solo
Si a <...
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