Tema 14 Fracc Parciales parte 1

Fundamentos Matemáticos
Tema 14: Integración por Fracciones Parciales

21 de Noviembre de 2014

Integración de Divisiones
Caso I: Un solo término en el denominador(monomio), y el grado del
polinomio en el numerador es mayor o igual al del denominador.
Se separa uno por uno y se simplifica cuando es posible, para luego
integrar:
Ejemplo:

 z4 4z2 4 
z4  4z2  4
 z dz  z  z  z  dz
z3dz  4 zdz  4 z  1dz
z4
z2
  4  4 ln z  C
4
2
z4
  2 z 2  4 ln z  C
4

Integración de Divisiones
Caso II: Más de un término en el denominador, y el grado del numerador
es mayor (o igual) que el del denominador.
Se debe realizar la división polinomio a polinomio!
Ejemplo:
3

2

5x  2 x  x  1
dx
 x 1
1 
 2
5x  3x  2  x  1 dx
1
5x dx  3xdx  2 dx  
dx
x 1
5 3 3 21
x  x  2x  
dx
3
2
x 1
2

5 x 2  3x  2
x  1 5 x3  2 x 2  x  1
_

3

_

5x  5x2
 3x 2  x
+ 3 x 2 + 3 x
 2x 1
_
_
 2x  2
 1  residuo

Integración de Divisiones
Caso III: Más de un término en el denominador, y el grado del numerador es
menor que el del denominador.
Se descompone en divisiones más simples cuyos denominadores son
potencias de polinomios de grado menor o igual a2, llamadas fracciones
parciales
Ejemplo:

2
x 2  1dx

Podemos verificar que la siguiente suma es igual al integrando anterior:

1
1
( x  1)  ( x  1) x  1  x  1
2




x  1 x 1
( x  1)( x  1)
x2  1
x2  1
Así que:

2
1 
1
1
 1
x 2  1dx  x  1  x  1 dx x  1 dx  x  1 dx

Y estas últimas integrales ya las sabemos resolver con sustitución simple

Descomposición enFracciones Parciales
Una función racional se puede descomponer en fracciones parciales sólo si
el polinomio en el numerador es de grado menor que el polinomio en el
denominador
Guía:
1.- Factoriza el denominador!: Expresar el denominador como un producto
de factores de la forma:

( px  q ) m

y

( ax 2  bx  c) n

con m y n enteros no negativos
2.a) Por cada factor de la forma LINEAL

, ladescomposición en fracciones parciales debe incluir la suma de m fracciones parciales así :

donde cada numerador A,B,… es un número real

( px  q ) m

A
B
C
M



...

px  q ( px  q ) 2 ( px  q )3
( px  q ) m

Descomposición en Fracciones Parciales
Continuación Guía:

( ax 2  bx  c) n

b) Por cada factor de la forma CUADRÁTICA
,
la descomposición en fracciones parciales debe contener la sumade n
fracciones parciales de la forma:

Ax  B
Cx  D
Ex  F
Mx  N


 ... 
2
2
2
2
3
ax  bx  c (ax  bx  c)
(ax  bx  c)
(ax 2  bx  c) n
donde cada letra representa números reales
3.- Encuentre el valor de las constantes en los numeradores comparando
cada término obtenido de la suma de las fracciones parciales, con los
términos que aparecen en la función racional original

Ejemplo 1descomposición en fracciones parciales
Escriba la descomposición en fracciones parciales de

1.- Factorizar el denominador:

x2  5x  6
( )( ) 6
  5

1
x2  5x  6

Ejemplo 1 descomposición en fracciones parciales
Escriba la descomposición en fracciones parciales de

1.- Factorizar el denominador:

x2  5x  6



1
x2  5x  6

( x  3)( x  2)

( 3)(  2) 6
 3  2  5
2.- ¿Qué tipo defactores tenemos?
Los dos factores son LINEALES
(x-3) y otra por (x-2)
Quedará:

, con p=1 y m = 1. Incluimos una fracción simple por

( px  q ) m

1
A
B


x2  5x  6 x  3 x  2

3.- Ahora vamos a encontrar los valores de A y B

Ejemplo 1 descomposición en fracciones parciales
3.- Para encontrar los valores de A y B, realizar la suma y compara:

1
A
B


x2  5x  6 x  3 x  2
A( x  2)  B( x  3)

( x  3)( x  2)
Ax  2 A  Bx  3B

( x  3)( x  2)
Como en el numerador original no tengo términos con x, solo tengo un

uno, se debe cumplir que:
1)

Ax  Bx 0
A  B 0

2)

 2 A  3B 1

Este sistema de 2 ecuaciones se resuelve para conocer los
valores A y B

Ejemplo 1 descomposición en fracciones parciales
3.- Encontrar los valores de A y B

Ax  Bx 0

 2 A  3B 1

A  B...