Tema 14 Trigonometria

MATEMÁTICAS BÁSICAS
Profesoras: Margarita Ospina Pulido
Jeanneth Galeano Peñaloza
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá
Departamento de Matemáticas

15 de junio de 2009

MOP-JGP
MATEMÁTICAS BÁSICAS

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Razones trigonométricas

Considere los triángulos rectángulos △ABC y △MNR con
todos sus ángulos congruentes.
R
n

C
bA

MOP-JGP
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c

m

a
B

M

r

N

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Razones trigonométricas
Entonces △ABC ∼ △MNR, por lo tanto
b
c
a
= =
m
n
r
De los cual se deduce que
a
m
= ,
b
n
Por lo tanto las razones ab ,
tamaño del triángulo.

MOP-JGP
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c
r
= ,
b
n
c
b,

a
c

a
m
=
c
r
NO dependen del

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Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas del ángulo A, considerando el
△ABC, se definen como
sen A =

cateto opuesto
hipotenusa

csc A =

hipotenusa
cateto opuesto

cos A =

cateto adyacente
hipotenusa

sec A =

hipotenusa
cateto adyacente

tan A =

cateto opuesto
cateto adyacente

cot A =

MOP-JGP
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cateto adyacentecateto opuesto

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Razones trigonométricas

Ejercicio
Demuestre que
sen2 A + cos2 A = 1
tan A =

sin A
cos A

tan2 A + 1 = sec2 A

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Razones trigonométricas

En un triángulo rectángulo isósceles los ángulos no rectos
deben sercongruentes luego cada uno mide 45◦ Si tomamos
√
como longitud de los catetos 1 el valor de la hipotenusa es 2.
45◦

1

√

2
45◦

1

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Las razones trigonométricas
son:
√
2
sen 45◦ = cos 45◦ =
2
tan 45◦ = cot 45◦ = 1√
sec 45◦ = csc 45◦ = 2

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Considere el triángulo equilátero de longitud de lado 2, al trazar
su altura se divide en dos triángulos rectángulos.
Sus ángulos
√
agudos miden 30◦ y 60◦ y los catetos 1 y 3

2

60◦

30◦
√ 2
3
60◦
1

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Las razones trigonométricas son:
√
3
1
◦
◦
◦
◦
sen60 = cos 30 =
sen 30 = cos 60 =
2
√2
√
3
tan 30◦ = cot 60◦ =
tan 60◦ = cot 30◦ = 3
3

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Ejercicio
Encuentre las demás razones trigonométricas.

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Resolución de triángulos rectángulos

En untriángulo rectángulo podemos desconocer las longitudes
de algunos de sus lados o la medida de sus ángulos, resolver
el triángulo es encontrar la medida de todos sus lados y todos
sus ángulos.
Se utiliza el teorema de Pitágoras y los valores de las
"funciones"trigonométrias de ángulos de 0◦ a 90◦ que
conocemos o que pueden ser halladas usando una
calculadora.

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Ejemplo 1

B

Consideremos el siguiente triángulo
12
a

30◦
A

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b

C

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Claramente ∡B mide 60◦ .
a
sen 30◦ =
luego a = 12 sen 30◦ = 12
12
cos

30◦

b
=
12

MOP-JGP
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luego b = 12 cos

30◦

= 12

1
2
√

3
2

=6
√
=6 3Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá Departamento de Matemáticas

Ejercicios

1.Expresar x y y en términos de las razones trigonométricas
de θ.
28
y

θ
x

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Ejercicios

2. Un árbol proyecta una sombra de 6 metros cuando el sol
tiene una inclinación de 60◦ ,cuál es la altura del árbol?...