Tema 1ESPACIO DE PROBABILIDAD

ESPACIO DE PROBABILIDAD
Experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos. δ-algebra de sucesos.
Probabilidad: definición frecuencial, clásica, subjetiva y axiomática. Propiedades.
4.1 La estadística estudia los fenómenos estocásticos que quedan determinados por los que las leyes que siguen no son conocidas en su totalidad o los factores que intervienen en el fenómeno son demasiados numerosospara conocerlos en su totalidad o difíciles de apreciar o no son medibles sin alterar las condiciones en que se desarrolla el fenómeno.
Los experimentos aleatorios: son aquellos experimentos que se desarrollan relacionados con un fenómeno estocástico. Se caracterizan por tener tres propiedades básicas:
Se conocen previamente los resultados posibles del experimento,
Es imposible la predicción de unresultado,
En iguales condiciones pueden suceder distintos resultados
4.2 Espacio muestral: es el conjunto de resultados posibles. Se representa por Ω. Existen distintos tipos de espacios muestrales según el número de resultados del espacio muestral.
Tipos de espacios muestrales Espacio muestral finitoEspacio muestral infinito numerable
Espacio muestral continuo
4.3 Sucesos: es cualquier acontecimiento que se pueda producir en el experimento aleatorio. Para cada suceso se debe poder afirmar si ocurrió una vez realizado el experimento. Existen distintos tipos de sucesos:
Tipos desucesos Sucesos distintos
Sucesos contrarios o complementarios
Sucesos excluyentes o incompatibles
Sucesos incluidos (uno incluido en otro)
4.4 Algebras de Boole de sucesos
Sea A una colección sucesos de Ω(un subconjunto), si se cumple que:
Ω A, Ø A
A A, B A A B A
A A, B A AB A
A A A
Diéremos que A tiene estructura de álgebra de Boole de sucesos. Se suele representar por A = P (Ω)
(A está formado por sucesos)
Sea A un álgebra de Boole de sucesos relacionados con un experimento aleatorio. Sea A un suceso de
A / A ≠ Ø. Diremos que A es compuesto si sepuede expresar como unión de dos sucesos de A distintos de A y distintos de Ø.
A /
Diremos que A es elemental si no se puede expresar como unión de dos sucesos de A distintos de A y distintos de Ø.
Propiedades:
Todo suceso de un álgebra de Boole con un número finito de sucesos se puede descomponer como unión de sucesos elementales.
Los sucesos elementales son excluyentes entre sí.
Cuando elálgebra de Boole tiene a todos los sucesos asociados al experimento aleatorio, es evidente que los sucesos elementales son los resultados del experimento, si no los contiene a todos, pueden existir sucesos elementales en el álgebra que no son resultados del experimento.

4.5 Algebras de conjuntos
Sea ω un conjunto no vacío y consideramos el conjunto de partes de ω P (ω).
Sobre ω, consideramos lasoperaciones de conjuntos: intersección, unión, complementación.
Sea C un elemento de ω , C ≠ Ø , diremos que C es un álgebra de conjuntos si se cumple:
C C
C A C
Propiedades de las álgebras
ω pertenece a C
Ø pertenece a C
C A C
La unión finita de subconjuntos de C, está en C.
La intersección finita de subconjuntos de C, está en C.
Existe una estrecha relación entre las dos álgebras.Algebra engendrada
Sea ω un conjunto no vacío y sea C P (ω). Llamamos algebra engendrada por C al algebra AC que contiene a C y es la más pequeña entre las que contienen a C
AC está formada por uniones, intersecciones y complementaciones de cantidades finitas de subconjuntos de C.
4.7 σ - Álgebra de conjuntos
Cuando un suceso A de un álgebra de conjunto C, no puede ser...