Tema 3 Ecuaciones No Lineales As

CONTENIDO
• Sistemas de ecuaciones lineales

• Raíces de ecuaciones no lineales
• Sistemas de ecuaciones no lineales

MATRIZ INVERSA
 CUANDO SE MULTIPLICA UNA MATRIZ CON SU INVERSA,

NECESARIAMENTE SE OBTIENE UNA MATRIZ IDENTIDAD.
 Para que una matriz tenga una matriz inversa, esta debe ser cuadrada

A*A-1 = 1
A*inv(A) = 1
5 3 −1
𝐴 = 3 2
1
4 −1 3

−1

𝐴

1.000
0.000
0.000

−0.000
1.000
00.2258
= −0.1613
−0.3548

0.000
0.000
1.000

−.2581
0.6129
0.5484

0.1613
−0.2581
0.0323

MATRICES SINGULARES
 SE DICE QUE UNA MATRIZ ES SINGULAR O MAL ESCALADA

CUANDO SU DETERMINANTE ES IGUAL A CERO (DET = 0)
 Una matriz singular no tiene matriz inversa.

det (A) = 0

𝐴 =

1 2
4 5
3 2

3
6
1

det (A) = 0

𝐵

=

1 2
4 5
7 8

3
6
9

det (B) = 6.6613e-016

SISTEMAS LINEALES
Sistema de 2 o masecuaciones con igual numero de incógnitas de
grado = «1»

𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟏𝟎
−𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟓
𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = −𝟏

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
MATRIZ INVERSA
DIVISION IZQUIERDA
MATEMATICAS SIMBÓLICAS

SOLUCIÓN CON EL USO DE MATRIZ
INVERSA
Considere el siguiente sistema de ecuaciones

𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟏𝟎
−𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟓
𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = −𝟏
El sistema de ecuaciones se puede reescribir mediante el uso de
matrices:
3
𝐴= −1
1

2
3
−1

−1
2
−1

Coeficientes

10
𝐵= 5
−1

Independientes

𝑋=

𝑥
𝑦
𝑧

Incógnitas

SOLUCIÓN CON EL USO DE MATRIZ
INVERSA
Utilizando multiplicación matricial, podemos expresar nuestro
sistema de ecuaciones de la siguiente forma:

A*X = B
Multiplicando ambos términos de la ecuación por la matriz inversa
de A (A-1) tenemos:

A-1*A*X = A-1*B
Lo que finalmente produce:

X = A-1*B

SOLUCIÓNCON EL USO DE DIVISIÓN
IZQUIERDA
La técnica mas eficiente y ordenada de resolver sistemas de
ecuaciones es la de Eliminación Gaussiana.
MATLAB utiliza la operación de División Izquierda para resolver a
partir de la eliminación gaussiana.
Considere el mismo sistema de ecuaciones utilizado en el método de
matriz inversa:

𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟏𝟎
−𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟓
𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = −𝟏

SOLUCIÓN CON EL USO DEDIVISIÓN
IZQUIERDA
Y las matrices utilizadas para reescribir el sistema de ecuaciones:
3
𝐴 = −1
1

2
3
−1

−1
2
−1

Coeficientes

10
𝐵= 5
−1

Independientes

𝑋=

𝑥
𝑦
𝑧

Incógnitas

Utilizando la división izquierda, determinamos la matriz «X» con
los resultados de las incógnitas de la siguiente forma:

X = A\B

EJEMPLO 1
Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

𝟑𝒙 + 𝒚 + 𝒛 + 𝒘 = 𝟐𝟒
−𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟕𝒛 +𝒘 = 𝟏𝟐
2𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛 + 𝟒𝒘 = 𝟏𝟕
𝒙+𝒚+𝒛+𝒘=𝟎
Genere las siguientes 2 matrices:

𝟑
𝟏
−𝟏 −𝟑
𝑨=
𝟐
𝟐
𝟏
𝟏

𝟏
𝟕
−𝟑
𝟏

𝟏
𝟏
𝟒
𝟏

𝟐𝟒
𝟏𝟐
b=
𝟏𝟕
𝟎

EJEMPLO 1
Verifique si la matriz tiene «A» tiene matriz inversa:

det (A) = 52
Como DET(A) ≠ 0, entonces procedemos a calcular la matriz
de incógnitas resultantes asignándoselas a la variable X:

X = inv (A) * B
El resultado de esta operación es la matriz X con losvalores
resultante de cada una de las incógnitas:

𝟏𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝟎
−𝟏𝟐. 𝟔𝟗𝟐𝟑
𝑿=
−𝟐. 𝟐𝟑𝟎𝟖
𝟐. 𝟗𝟐𝟑𝟏

EJEMPLO 1
Ahora utilizando el método de división izquierda y asignado el
resultado a la matriz «Y» tenemos:

Y=A\B
El resultado de esta operación es la matriz Y con los mismos
valores resultante de cada una de las incógnitas:

𝟏𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝟎
−𝟏𝟐. 𝟔𝟗𝟐𝟑
𝑿=
−𝟐. 𝟐𝟑𝟎𝟖
𝟐. 𝟗𝟐𝟑𝟏

EJERCICIO
Resuelva el siguiente sistemade ecuaciones mediante el uso de
la matriz inversa y de la división izquierda:

𝟑𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟒 + 𝒙𝟓 + 𝟕𝒙𝟔 + 𝒙𝟕 = 𝟒𝟐
𝟐𝒙𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟒 + 𝟓𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟔 + 𝟖𝒙𝟕 = 𝟑𝟐
𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟑 + 𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟓 + 𝟒𝒙𝟔 + 𝟔𝒙𝟕 = 𝟏𝟐
𝟓𝒙𝟏 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟒 + 𝟗𝒙𝟓 − 𝟐𝒙𝟔 + 𝒙𝟕 = −𝟓
𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟓 − 𝟔𝒙𝟔 + 𝟕𝒙𝟕 = 𝟏𝟎
−𝟐𝒙𝟏 + 𝟗𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟓 + 𝟓𝒙𝟔 + 𝒙𝟕 = 𝟏𝟖
𝒙𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟓 + 𝟒𝒙𝟔 + 𝟓𝒙𝟕 = 𝟏𝟕ECUACIONES NO LINEALES
Es una ecuación que contiene una variable con grado diferente de 1 .
El número de soluciones que puede tener (raíces), también es
diferente de 1.
Las ecuaciones no lineales también son aquellas que contienen
funciones trigonométricas y/o exponenciales.

3
3𝑥

+

2
2𝑥

+ 𝑥 + 15 = 10

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝐵 = 𝐵𝑜 ∗

𝑄
−
𝑒 𝑅𝑇

MATEMATICAS SIMBOLICAS
 OBJETIVOS:
 Crear y manipular variables...