Tema_4_CalculoIntegral

Tema 4

Cálculo integral

Integral definida. Función integrable
Suma de Reimann
Sea el intervalo [a, b]. En conjunto de puntos:
Pn = {x0 , x1, . . . . . . . , xn }
Donde
x0 = a; xn = b; xi – 1 < x; i = 1, 2, . . . . ., n
Se llama partición o red de intervalo [a, b]
Se puede observar que una partición de un intervalo lo divide en “n”
subintervalos, y a cada uno de ellos se les llama tambiéncelda.
A la distancia entre los puntos extremos de cada celda se le llama
amplitud de celda, es decir:

∆1x = x1 -

x0 (amplitud de la celda uno)

∆2x = x2 -

x1 (amplitud de la celda dos)

en general la amplitud de la celda i – ésima es:

∆ix = xi -

xi – 1

Un mismo intervalo [a, b] puede tener infinidad de particiones ya
que el tamaño de las celdas es arbitrario.
A la mayor amplitud de las celdas deuna partición se le llama
norma de la partición y se representa por medio del símbolo:
|| ∆ || o a veces con V(R)
Ejemplo:
Dado el intervalo [0, 10] efectuar dos particiones diferentes de 10
celdas y en cada caso decir cual es la norma.

1

Tema 4

Cálculo integral

Solución:
a) La primera partición se hará de diez celdas de igual amplitud
como se indica en la figura

Las diez celdas tienen lamisma amplitud que vale la unidad.

∆1x = 1 – 0 = 1
∆2x = 2 – 0 = 1
∆3x = 3 – 2 = 1
∆4x = 4 – 3 = 1
∆5x = 5 – 4 = 1
∆6x = 6 – 5 = 1
∆7x = 7 – 6 = 1
∆8x = 8 – 7 = 1
∆9x = 9 – 8 = 1
∆10x = 10 – 9 = 1
b) La segunda partición se efectuará de la siguiente manera.

∆1x = 1.5 – 0 = 1.5
∆2x = 2 – 1.5 = 0.5
∆3x = 4 – 2 = 2
∆4x = 4.25 – 4 = 0.25
∆5x = 4.5 – 4.25 = 0.25
∆6x = 4.75 – 4.5 = 0.25
∆7x = 5 – 4.75 =0.25
2

Tema 4

Cálculo integral

∆8x = 7 – 5 = 2
∆9x = 9.9 – 7 = 2.9
∆10x = 10 – 9.9 = 0.1
La norma de esta partición es
|| ∆ || = 2.9
Supóngase que la función y=f(x) esta definida y limitada en el
conjunto D y considérese una partición de dicho conjunto que
contenga n intervalos.

ε

Si se escoge un punto
forma que:

ε ∈[x
ε ∈[x

, x1] donde x0 ≤
1 , x2] donde x1 ≤

1

0

2

.

.

.

.

.

.ε ∈[x

i-1,

i

xi] donde xi-1 ≤

en cada subintervalo de la partición de tal

ε
ε
ε

1

≤ x1

2

≤ x2

i

≤ xi

y se forma la suma de productos del valor de f en cada punto
por la amplitud de la celda respectiva, se tendrá:

ε )∆ x
f( ε ) ∆ x
f(

1

1

n

n

+

f2(

ε )∆ x
2

2

+.............+

f(

ε )∆x
i

i

ε

+............+

En forma condensada se puede escribir:
n

∑
i =1

f(

ε )∆x
i

i

Aesta suma de llama suma de Reimann.

3

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Cálculo integral
n

1+2+3+. . . . . . + n=

∑ i = n(n2+ 1)
i =1

n

12+22 + 32 + . . . . . . n2 =

∑ i = n(n + 1)(6 2n + 1)
i =1
n

∑1 = n
i =1

Ejemplo:
Dada f(x) = 5 -

1
x2
, con
≤ x ≤ 3, encuentre la suma de Reimann
4
4

para la función f dada la partición
x0 =

1
; x1 = 1, x2 = 1.5, x3 = 1.75, x4 = 2.25, x5 = 3
4

los puntos elegidos en cadacelda son:

ε

1

= 0.5,

ε

2

= 1.25,

ε

3

= 1.75,

ε

4

= 2,

ε

5

= 2.75

La figura muestra la gráfica y los cinco rectángulos.

4

Tema 4

Cálculo integral

La suma de Reimann es:
5

∑

f(

i =1

f(

ε )∆x
i

i

= f(

ε )∆ x
1

1

+ f2(

ε )∆ x
2

2

+ f(

ε )∆ x
3

3

+

ε ) ∆ x + f( ε ) ∆ x
4

4

5

5

=f(0.5)(1-0.25) + f(1.25)(1.5-1) + f(1.75)(1.75-1.5) + f(2)(2.251.75) +f(2.75)(3-2.25)
= (4.94)(0.75) + (4.61)(0.5) + (4.23)(0.25) + (4)(0.25) +
(3.11)(0.75)
=11.40
La norma ||
||

∆ || es la longitud de la celda mas larga. Por lo tanto:

∆ ||= 0.75

Como los valores de la función f(x) no se restringen a valores no
negativos, algunos de los f( i) podrían ser negativos. En tal caso,
la interpretación geométrica de la suma de Reimann sería:

ε

“La suma de las medidas de las áreasde los rectángulos que están
sobre el eje X, mas los negativos de las medidas de las áreas de los
rectángulos que están bajo el eje X”

5

Tema 4

Cálculo integral

La suma de Reimann es
10

∑ f( ε
i=1

i)

∆ix =A1+A2 - A3 - A4 - A5 + A6+A7 – A8 – A9 - A10

ε

ya que = f( 3), f(
números negativos.

ε

4),

f(

ε

5),

f(

ε

8),

f(

ε

9),

f(

ε

10)

son

Integral definida
Si f es una...