Tema 4 TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS

Autor: Rafael Quintero

Transformaciones geométricas
Tema 4-1º BACH

objetivos:
 
       Contactar con la geometría proyectiva como ampliación de la
conocida g. euclediana.
       Realizar transformaciones en el plano, tales como la homología
y sus casos particulares, afinidades e inversiones.
       Ampliar dichas transformaciones a otros tipos de problemas.
       Conocer las relaciones delas transformaciones con la geometría
descriptiva que se estudiará mas adelante.

TRANSFORMACIONES
GEOMÉTRICAS
En el ámbito de Segmentos proporcionales.
•Teorema de Thales
•Razón simple
•Razón doble
•Cuaterna armónica

En el ámbito de Operaciones en el plano.
•Transformaciones proyectivas:
•Homografías
•Homotecia
•Homología afín - Simetría axial
•Homología especial - Traslación
•Transformacionesno proyectivas:
• inversión (las veremos el próximo curso)
•Equivalencia (las veremos el próximo curso).

•La GEOMETRÍA PROYECTIVA observa las
propiedades que se conservan en una
proyección.
•EJEMPLO: Si desde un punto trazamos rectas
que unan puntos rectas o planos y cortamos
a éstas con otro plano, éste tipo de
Geometría estudiará las propiedades de los
puntos de corte.
•No se interesa pormedidas de segmentos o
ángulos, sino por las posiciones relativas d los
elementos en el espacio o en el plano.
•Aunque representa conceptos
tridimensionales es posible su empleo sobre
un plano.
•También aparece el concepto de infinito en
las resoluciones

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA
PROYECTIVA

RECTA ORIENTADA:
Se designa así a la recta
en la cual ha sido fijado un
sentido como positivo

Elementosgeométricos
fundamentales. Son el
punto, la recta y el plano.
Formas geométricas.
Son las formadas con los
elementos geométricos.

P

A

B

+

Razón simple de tres puntos
Dados dos puntos fijos A y B) en una recta r
orientada (que tiene sentido positivo y negativo), la
razón simple Es el cociente o razón de distancias
entre el primero a los otros dos fijos, se llama razón
simple de tres puntos P, A Y Ba la relación:
h = (PAB) = PA
PB

P

A

B

Puntos fijos
SI SE VARÍA EL ORDEN DE NOTACIÓN, SE VARIÁ EL VALOR DE LA RAZÓN.

+

+aclaraciones

Valor de la razón simple, imaginate un valor
Se refiere a los puntos que están en razón simple
Ese valor se expresa mediante la fracción

n

p

A

20
30

10

m

Es el punto
de origen

15

K=PAB=PA
PB ;
aritméticamente: 20
30 ,de donde
10 20
podemos afirmar,m
n =15=30

B

K, es un valor. En una recta
donde hay tres puntos
alineados, si consideramos a
uno de ellos, el P por ejemplo el
origen de esa recta, el
segmento formado desde este
punto P al siguiente punto A
dividido por la distancia de P al
ultimo punto nos va a dar un
valor =k. En geometría ese
valor viene expresado como
PA/PB. Es decir, se interesa mas
por la relación entre el primersegmento/segundo segmento.

CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE UNA RAZÓN
SIMPLE
•Sean A Y B los puntos fijados sobre una recta.
•Para construir el punto P cuya razón h es conocida, se trazan por A
y B dos rectas paralelas cualesquiera, tomando sobre ellas dos
segmentos que están en la relación m/n = , al mismo o a distinto
lado, según que el valor de h sea positivo o negativo.
•El segmento que une los extremosobtenidos determina sobre la
recta el punto buscado (P1 para + y P2 para -)
n
El ejercicio consistírá en
hallar la ubicación de P
en la recta para que la
razón simple de estos
tres puntos estuvieran
en la misma relación que
m/n.

m

+datos

Razón doble de cuatro puntos
Dados dos puntos fijos A y B en una recta r orientada se
llama razón doble de cuatro puntos M, N, A y B al cociente
de las razonessimples de los dos primeros respecto a los
otros dos:
k = (MNAB) =(MAB) = MA/MB
(NAB)
NA/NB

A cada grupo de cuatro puntos que se puede elegir se denomina cuaterna
anarmónica.

Cuaterna armónica
Si la razón doble de cuatro puntos vale -1, entonces se dice que los
cuatro puntos forman una cuaterna armónica:
k = (MNAB) =(MAB) = MA/MB
NA/NB
(NAB)

=-1

MA
MB

=

NA
NB

MN están separados...