TEMA 4

Tema 4. El crecimiento exógeno
de la productividad.
4.1 El modelo neoclásico con progreso tecnológico
Max

∫∞

0

e − ( ρ − n )t

(cˆe xt )1−θ − 1
dt
1−θ

La renta de los consumidores es la suma delos ingresos del trabajo e ingresos
del capital: wLt + rBt −1 . Con la renta de que disponen los consumidores pueden
ahorrar o consumir, de tal forma que:
S t + Ct = wALt + rBt −1
El ahorro de lasfamilias es igual a:
Bt +1 = Bt + St
B& = St
Podemos escribir la restricción presupuestaria de las familias:
B& = wAL + rB − C
Expresamos la restricción presupuestaria de las familias en unidades detrabajo efectivo:

B&
B
C
= w+r
−
⇒
AL
AL AL
B&
B
C
= w+r
−
AL
AL AL
B
como activos
definimos bˆ =
AL
derivamos respecto al tiempo:

B&
= w + rbˆ − cˆ
(1)
AL
B&
⇒
= w + rbˆ − cˆ
AL
por unidad de trabajoefectivo, y lo

Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
B& AL − B( A& L + AL& ) B&
b&ˆ =
=
− bˆ( x + n)
AL AL
AL
Sustituimos (2) en (1) y despejamos b&ˆ :

(2)

B&
= bˆ& + bˆ( x + n)
ALb&ˆ = w + rbˆ − cˆ − bˆ( x + n)
: b&ˆ = w − cˆ + bˆ(r − x − n) restricción presupuestaria expresada en unidades de
trabajo efectivo:

4. 1 Problema del consumidor
(cˆe xt )1−θ − 1
dt
1−θ
s.a : bˆ& = w −cˆ + bˆ(r − x − n)
Max ∫0∞ e −( ρ − n )t

Definimos el hamiltoniano:
H = ∫0∞ e −( ρ − n )t

(cˆe xt )1−θ − 1
dt + v( w − cˆ + bˆ(r − x − n))
1−θ

c.p.o.
∂H
= 0 ⇒ e [−( ρ −n )− xθ ]t cˆ −θ = v
∂cˆ(3)

∂H
= −v& ⇒ v(r − n − x) = −v&
∂bˆ
derivamos (3) respecto a t:
(−( ρ − n) − xθ )e ( − ( ρ −n )− xθ )t cˆ −θ − θ cˆ −θ
Dividimos (5) por (3):
v&
cˆ&
= (n − ρ − xθ ) − θ
v
cˆ
2

(4)

cˆ& ( − ( ρ −n )−xθ )t
e
= v&
cˆ

(6)

(5)

Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
Igualamos la expresión (6) a la expresión (4):
cˆ&
= −( r − n − x )
(7)
cˆ
despejamos de (7) la tasa de crecimiento delconsumo privado:
(n − ρ − xθ ) − θ

γ cˆ =

1

θ

[(r − ρ − x(1 + θ ))] :

evolución del consumo por unidad de trabajo

efectivo.
Tendiento en cuenta que : f ' (kˆ) = r + δ , que se verá en la...