Tema_5_Nuevo

Hernández-March, J. et al.

Estadística para los Grados en Ciencias Sociales

TEMA 5. LA VINCULACIÓN ENTRE VARIABLES
ESTADÍSTICAS: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

En el ámbito científico resulta habitual tratar de conocer la realidad a través de representaciones
simplificadas que resulten más operativas y manejables, que se conocen como modelos, y que tratan de
explicar el comportamiento de una o másvariables por medio de otra u otras, empleando relaciones
matemáticas.
Cuando existen errores en la medición de las variables o el fenómeno a estudiar es tan complejo
que su comportamiento se debe a múltiples causas se genera incertidumbre, lo que lleva a que dichas
relaciones matemáticas entre las variables resulten insuficientes para explicar la realidad.
Esta situación es particularmente evidenteen las ciencias sociales en las que los modelos nunca
recogen todas las posibles variables explicativas de un cierto fenómeno porque, en última instancia,
contienen un comportamiento aleatorio que se deriva de la naturaleza humana del tipo de situaciones que
analizan, además de incurrir en errores en la toma de datos, ya sean censos o encuestas.
En estos casos, las variables mantienen unadependencia no exacta, no matemática que requiere
un tratamiento estadístico, que da nombre al tipo de vinculación a estudiar y que se concreta en dos
procedimientos:
a)

Buscar y determinar aquella estructura de dependencia (aproximada) que mejor exprese el
tipo de relación existente entre la variable explicada y las variables explicativas, que se conoce
como REGRESIÓN.

b) Calcular el grado dedependencia existente entre las variables mediante el análisis de
CORRELACIÓN.
En este tema vamos a abordar ambas cuestiones, ciñéndonos al caso más sencillo de la regresión
con una única variable explicativa.

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5.1 PLANTEAMIENTO GENERAL DEL PROBLEMA DE LA
REGRESIÓN
A partir de la variable bidimensional (X,Y) con distribuciónde frecuencias conjunta
[(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 ); 𝑛𝑖𝑗 ]

𝑖=1..ℎ 𝑗=1..𝑘

llamamos regresión de Y sobre X, que denotamos como 𝑅(𝑌⁄𝑋), a la función

que explica el comportamiento de Y para cada valor de X1.
Dicha función se puede establecer siguiendo dos criterios, lo que permite que se hable de
regresión de tipo I, por un lado, y regresión de tipo II o Mínimo Cuadrática, por otro. Veamos en qué
consiste cadauno de los procedimientos:
A) REGRESIÓN DE TIPO I DE Y SOBRE X O TAMBIÉN 𝑹𝑰 (𝒀⁄𝑿)
Bajo este procedimiento de estimación, la distribución bidimensional de frecuencias se observa
desde la perspectiva de la distribución condicionada de Y para cada valor de X, con el objetivo de asignar
a la variable explicada el mejor valor posible. Esto nos lleva a leer la tabla de correlación a partir de las
filasque la conforman, en cada una de las cuales los valores de la X están fijos y varían los de la Y. Su
representación gráfica quedaría así:
Gráfico 5.1: Distribución bidimensional leída como suma de distribuciones condicionadas

Y

x1

x2 …

xh

X

Ahora bien, si tuviéramos que escoger qué valor de Y tomar como representante de los
disponibles para cada uno de los valores de la X, parece que uncriterio lógico sería usar la media de los
existentes, toda vez que es la medida de posición central más utilizada en el análisis de una variable y
cada una de las distribuciones condicionadas tienen este carácter:
1

Obviamos el planteamiento de la regresión de X sobre Y, por cuanto se entiende que siempre habrá una
lógica que imponga que una de las variables sea la explicada y la otra la explicativa.En el caso del
consumo y la renta de las familias, lo lógico es pensar que la renta determine el consumo y no al revés.
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Fórmula 5.1

𝑦̅
⁄𝑋 = 𝑥 𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑖

𝑦̅⁄
𝑥𝑖

∀ 𝑖 = 1. . ℎ

Gráfico 5.2: Representación gráfica de las medias condicionadas

Y

𝑦̅⁄
𝑥ℎ

𝑦̅⁄
𝑥2

𝑦̅⁄
𝑥1

x1

x2

xh

...

X

Desde otro punto de...