Tema 5

Tema

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Derivación
Iniciamos el estudio del Cálculo Diferencial, introduciendo el concepto de derivada para
funciones reales de variable real, que se basa en la noción de límite funcional. Analizamos
la relación entre derivabilidad y continuidad, y constatamos el carácter local del concepto de
derivada, prestando también atención a las derivadas laterales. Seguidamente explicamos lainterpretación geométrica de la derivada (pendiente de la recta tangente a la gráfica de una
función) y su interpretación física más elemental (velocidad o razón de cambio).
Para el estudio de las funciones derivables seguiremos un esquema similar al utilizado con
la funciones continuas. Demostramos que la familia de las funciones derivables es estable por
las operaciones usuales: suma, producto, cociente,composición y función inversa. Probamos la
derivabilidad de diversas funciones conocidas: funciones racionales, exponencial, logaritmo y
funciones potencia. Quedará para más adelante la derivación de las funciones trigonométricas
y sus inversas.

5.1.

Concepto de derivada

Sea f : A → R una función real de variable real. Dado un punto a ∈ A ∩ A , consideramos
la función fa : A \ {a} → R definidapor
fa (x) =

f (x) − f (a)
x−a

∀ x ∈ A \ {a}

Puesto que a ∈ A \ {a} , tiene sentido preguntarse por la existencia de límite en el punto a
para la función fa . Pues bien, se dice que f es derivable en el punto a cuando la función fa
tiene límite en el punto a . Dicho límite recibe el nombre de derivada de la función f en el
punto a y se denota por f (a). Simbólicamente:
f (a) = l´ım fa (x) = l´ımx→a

x→a

f (x) − f (a)
x−a

Dado un conjunto B ⊂ A ∩ A , diremos que f es derivable en B cuando sea derivable en todo
punto de B.
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5. Derivación

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Sea ahora A1 el conjunto de puntos de A ∩ A en los que f sea derivable. Si A1 no es
vacío, podemos considerar la función x → f (x) que a cada punto de A1 hace corresponder la
derivada de f en dicho punto. Se obtiene así la función derivada de f ,que se denota por f .
Simbólicamente:
f (y) − f (x)
∀ x ∈ A1
f : A1 → R , f (x) = l´ım
y→x
y−x
Obsérvese que con la notación usada para la derivada en un punto no hacíamos otra cosa que
anticipar la definición de la función derivada. Debemos siempre distinguir claramente entre la
derivada de una función en un punto, que es un número real, y la función derivada, que es una
función real de variablereal.
Resaltamos que no tiene sentido discutir la derivabilidad de una función en puntos donde
no esté definida ni en puntos aislados de su conjunto de definición. El caso más interesante se
presenta cuando el conjunto de definición es un intervalo I ⊂ R que contenga al menos dos
puntos. Se tiene entonces I ⊂ I , luego para funciones definidas en I tiene sentido plantear su
posible derivabilidad entodo punto de I. Vamos con la primera observación importante sobre el
concepto de derivada:
Sean f : A → R una función real de variable real y a ∈ A ∩ A . Si f es derivable en el
punto a , entonces f es continua en a .
En efecto, basta observar que l´ım ( f (x) − f (a)) = l´ım (x − a)
x→a

x→a

f (x) − f (a)
= 0.
x−a

El carácter local del concepto de límite funcional se transmite a la noción dederivada. La
comprobación del siguiente enunciado es obvia.
Sean f : A → R una función real de variable real, B ⊂ A y b ∈ B ∩ B ⊂ A ∩ A .
(i) Si f es derivable en b , entonces f |B es derivable en b , con ( f |B ) (b) = f (b).
(ii) Si f |B es derivable en b y existe δ > 0 tal que A ∩ ]b − δ, b + δ[ ⊂ B , entonces f es
derivable en b .
Como en otras situaciones previas, el carácter local delconcepto de derivada suele aplicarse
fijando un δ > 0 conveniente y tomando B = A ∩ ]b − δ, b + δ[ con lo que la derivabilidad de f
en b equivale a la de f |B , en cuyo caso las dos derivadas coinciden.
El concepto de límite lateral nos lleva lógicamente a las derivadas laterales. Sea f : A → R
una función real de variable real, fijemos un punto a ∈ A ∩ A , consideremos la función fa
utilizada en...