Tema 55 La Geometria Fractal

TEMARIO DE
[2015-16]
MATEMÁTICAS
TEMA 55: LA GEOMETRÍA FRACTAL.
NOCIONES BÁSICAS.
I. CONJUNTOS DE ESTRUCTURA FRACTAL. NOCIONES
BÁSICAS
I.1. EL CONJUNTO DE CANTOR, EL FRACTAL
I.2. CONJUNTOS AUTOSEMEJANTES. DIMENSIÓN FRACTAL

II. CURVAS FRACTALES. EJEMPLOS DE FRACTALES
II.1. FRACTALES LINEALES
II.1.A. CURVA DE KOCH O CURVA POCO DE NIEVE
II.1.B. ANTICOPO DE NIEVE
II.1.C. CONJUNTO DE BESICOVITCHII.1.D. CURVAS QUE RELLENAN EL ESPACIO
II.1.E. ESTUCHE TRIANGULAR DE SIERPINSKI
II.1.F. ÁRBOL BÁSICO DE PITÁGORAS

II.2. FRACTALES NO LINEALES: CONJUNTOS DE JULIA Y
MANDELBROT
II.3. FRACTALES ALEATORIOS: MOVIMIENTO BROWNIANO

III. APLICACIONES DE LOS FRACTALES A OTROS
CAMPOS DEL CONOCIMIENTO.

IV. BIBLIOGRAFÍA

Queda totalmente prohibida la copia, reproducción, modificación, distribución u otro uso noautorizado de este temario.

Tema 55: La geometría fractal. Nociones básicas.

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TEMA 55: LA GEOMETRÍA FRACTAL.
NOCIONES BÁSICAS.
La geometría fractal cambiará a fondo su visión de las cosas. Seguir leyendo
es peligroso. Se arriesga a perder definitivamente la imagen inofensiva que tienen
las nubes, bosques, galaxias, hojas, flores, rocas, montañas, lineas de costa, nieve,
tapices y de muchasotras cosas. Jamás volverá a recuperar las interpretaciones de
todos estos objetos que hasta ahora le eran familiares.
Así caracterizó el tema que voy a tratar al conocido matemático Michael
Barnsley, uno de los investigadores punteros en el terreno de la geometría fractal.
Cierto es que Benoit B. Mandelbrot, en los años 70, con su concepto de los fractales,
ampliamente expuesto en su libro TheFractal Geometry of Nature, puso en marcha
una nueva forma de pensar dentro de las matemáticas y las ciencias naturales.

I. CONJUNTOS DE ESTRUCTURA FRACTAL. NOCIONES
BÁSICAS
La geometría fractal es, en primer término, un nuevo lenguaje. Pero sus
elementos no derivan de la intuición directa, lo que los distingue esencialmente de
los elementos de la geometría euclidea, como la línea recta, lacircunferencia o la
esfera.
La geometría fractal se expresa por medio de algoritmos, es decir, por medio
de reglas e instrucciones de procedimiento, que requieren en la mayoría de los
casos la ayuda de un ordenador para convertirse en formas y estructuras.
Un fractal viene a ser el producto final que se origina a través de la iteración
infinita de un proceso geométrico bien especificado. Este procesogeométrico
elemental, que es generalmente de naturaleza muy simple, determina perfectamente
la estructura final, que muy frecuentemente, debido a la repetición infinita que se ha
efectuado, tiene una complejidad aparente extraordinaria.
La esencia de esto es que muchas estructuras naturales (como, por ejemplo,
las nubes, montañas, líneas de costa, grietas tectónicas, los capilares sanguíneas,
lassuperficies de ruptura de materiales, ramificación de los árboles, y otras muy
semejantes) que aparentan tener una extraordinaria complejidad, poseen en realidad
una misma regularidad geométrica: la denominada autosemejanza. Esto significa

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Tema 55: La geometría fractal. Nocionesbásicas.

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que, si se analizan estas estructuras a distintas escalas, se encuentran una y otra
vez los mismos elementos básicos.
Como ya veremos en los ejemplos posteriores, la autosemejanza@ será una
de las características fundamentales de los fractales que trato.
El mejor modo de entender lo que es un fractal consiste en examinar cómo
surge el fractal por antonomasia, el conjunto de Cantor,mediante la iteración infinita
de un sencillo proceso geométrico.

I.1. EL CONJUNTO DE CANTOR, EL FRACTAL
Un segmento rectilíneo de longitud 1 se divide en tres partes iguales. Se
elimina la parte central (abierta, es decir sin incluir los extremos). Cada una de las
otras dos se divide en tres partes iguales y se eliminan las partes centrales en cada
una de ellas. Se procede igual con cada uno de...