Tema 6 funciones elementales

Objetivos
Los objetivos que se pretenden en esta unidad son:
Distinguir las funciones polinómicas por su grado: de primer grado, rectas, y de segundo grado, parábolas.
Identificar los elementos principales de una parábola: vértice y eje de simetría.
Representar gráficamente y analizar cualquier tipo de parábola, a partir del estudio de sus características.
Obtener la gráfica de una función deproporcionalidad inversa, a partir de su expresión algebraica.
Reconocer y representar hipérbolas que corresponden a funciones de proporcionalidad inversa.
Identificar y representar funciones con radicales.
Interpretar y representar las funciones exponenciales y logarítmicas.
Aplicar las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas en la resolución de problemas.
Conocer las principalescaracterísticas de las funciones trigonométricas y representarlas gráficamente.
Representar funciones definidas a trozos: valor absoluto y parte entera.
¿Qué debes saber?
Una vez finalizada la unidad didáctica deberás saber hacer lo siguiente:
Representar gráficamente funciones polinómicas de primer y de segundo grado
Hallar la expresión algebraica de funciones a partir de la gráfica.
Estudiar yrepresentar gráficamente funciones de proporcionalidad inversa.
Representar funciones radicales.
Determinar, analítica y gráficamente, la función exponencial.
Identificar e interpretar las gráficas de las funciones exponenciales.
Interpretar y representar las gráficas de las funciones logarítmicas.
Determinar funciones trigonométricas.
Representar gráficamente funciones definidas a trozos.Funciones polinómicas
Una función polinómica es aquella que está definida por un polinomio.
Las características globales de una función polinómica son:
a) El dominio es 
b) No tienen asíntotas.
c) El número de cortes con el eje OX es como máximo el grado del polinomio, y los cortes son las raíces reales del polinomio.
d) El término independiente del polinomio es el que indica el corte con el eje OY.
Enla siguiente imagen tienes un ejemplo de función polinómica

Rectas
La función polinómica de primer grado se llama función afín y su representación es una recta. Son de la forma: donde  es la pendiente de la recta y es el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.
Observa la siguiente animación que representa la recta , mueve los deslizadores y observa la relación entre la ecuación de larecta y su gráfica. 

Ejercicio resuelto
Dadas las siguientes gráficas de distintas rectas, encuentra su ecuación:

a) 
En una recta de la forma Para sacar la pendiente, , observa lo que aumenta el valor de , cuando aumenta . Para calcular el valor de , observa el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.
b) 
c) 







Parábolas
La gráfica de las funciones polinómicas de segundo gradoson las parábolas.
 La parábola de ecuación  tiene las siguientes características:
a) Tiene un eje de simetría en la recta , que pasa por el vértice.
b) La parábola es hacia arriba si  y es hacia abajo si .
c) La parábola es más estilizada cuanto mayor es  en valor absoluto:

 
 


En la siguiente animación mueve los parámetros a, b y c y observa cómo varía la ecuación de la gráfica y deduce cómoinfluyen a y c en la gráfica.
Después traslada la gráfica y observa que ocurre con la ecuación.













Ejercicio resuelto
Dada la siguiente parábola, averigua su ecuación :

. Es negativo porque la parábola es hacia abajo. Y vale -2 porque si  avanza 1 desde el vértice, la variable  baja 2 unidades.
 porque es el punto de corte de la función con el eje de ordenadas.
La coordenada  del vérticees 2; de la ecuación del eje de simetría  se obtiene que .
Por tanto, la ecuación de la parábola es .




Ejercicio resuelto
Ahora, realizamos el ejercicio contrario.
Dibuja la parábola cuya expresión algebraica es: 
Sabemos que es una función polinómica de segundo grado, es decir, su gráfica es una parábola.
Como el coeficiente de  es mayor que cero, la parábola es hacia arriba.
Hallamaos la...