tema 6

Relaciones entre variables
Las técnicas de regresión permiten hacer predicciones sobre los valores de cierta variable Y (dependiente), a partir de los de otra X (independiente), entre las que se intuye
que existe una relación. Para ilustrarlo retomemos los ejemplos mencionados al principio
del tema anterior. Si sobre un grupo de personas observamos los valores que toman las
variables
X ≡Altura medida en cm
≡ Altura medida en metros

Y

es trivial observar que la relación que hay entre ambas es: Y =

X
.
100

Obtener esta relación es menos evidente cuando lo que medimos sobre el mismo grupo
de personas es, por ejemplo,
X ≡
Y

≡

Altura medida en cm
Peso en kilos

La razón es que no es cierto que conocida la altura xi de un individuo, podamos
determinar de modoexacto su peso yi (dos personas que miden 1,70 m pueden tener
pesos de 60 y 65 kilos). Sin embargo, alguna relación entre ellas debe existir, pues parece
mucho más probable que un individuo de 2m pese más que otro que mida 1.20m. Es más,
nos puede parecer más o menos aproximado una relación entre ambas variables como la
siguiente
Y = X − 110 ± (error).
A la deducción, a partir de una serie dedatos, de este tipo de relaciones entre variables, es lo que denominamos regresión.

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Mediante las técnicas de regresión de una variable Y sobre una variable X, buscamos
una función que sea una buena aproximación de una nube de puntos (xi , yi ), mediante
una curva. Para ello hemos de asegurarnos de que la diferencia entre los valores yi e yi
ˆ
sea tan pequeña como sea posible.
Eltérmino que hemos denominado error debe ser tan pequeño como sea posible (ver
figura). El objetivo será buscar la función (también denominada modelo de regresión)
ˆ
Y = f (X) que minimice dicho error.

2

Bondad de un ajuste
Consideremos un conjunto de observaciones sobre n individuos de una población, en
los que se miden ciertas variables X e Y ,
X

→ x1 , x2 , . . . , xn

Y

→ y1 ,y2 , . . . , yn

Estamos interesamos en hacer una regresión para determinar, de modo aproximado,
ˆ
los valores de Y conocidos los de X. Así, debemos definir cierta variable Y = f (X), que
debe tomar los valores
y1 = f (x1 ) ,
ˆ
y2 = f (x2 ) ,
ˆ
···
yn = f (xn ) ,
ˆ

3

de modo que:
ˆ
y1 − y1 ≈ 0,
ˆ
y2 − y2 ≈ 0,
···
ˆ
yn − yn ≈ 0,
ˆ
Ello se puede expresar definiendo una nuevavariable E = Y − Y que mida las diferencias

entre los auténticos valores de Y y los teóricos suministrados por la regresión,
ˆ
e1 = y1 − y1 ,
ˆ
e2 = y2 − y2 ,
···
ˆ
en = yn − yn .

ˆ
y calculando Y de modo que E tome valores cercanos a 0. Dicho de otro modo, E debe ser
2
una variable cuya media debe ser 0 y cuya varianza SE debe ser pequeña (en comparación

con la de Y ).
Porello, se define el coeficiente de determinación de la regresión de Y sobre X, R2 ,
como

2
2
SY − SE
S2
= 1− E.
2
2
SY
SY
ˆ
Si el ajuste de Y mediante la curva de regresión Y = f (X) es bueno, cabe esperar que la

R2 =

cantidad R2 tome un valor próximo a 1.
Análogamente, si nos interesa encontrar una curva de regresión para X como función
ˆ
de Y , definiríamos X = f (Y ) y seprocedería del mismo modo en las definiciones.
El valor de R2 sirve, entonces, para medir de qué modo las diferencias entre los verdaderos valores de una variable y los de su aproximación mediante una curva de regresión
son pequeñas en relación con los de la variabilidad de la variable que intentamos aproximar. Por esta razón estas cantidades miden el grado de bondad del ajuste.

Regresión linealLa forma de la función f en principio, podría ser arbitraria, y tal vez se tenga que la
relación más exacta entre las variables peso y altura, definidas anteriormente, sea algo de
forma muy complicada.
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Por el momento no pretendemos encontrar relaciones complicadas entre variables,
pues nos vamos a limitar al caso de la regresión lineal. Con este tipo de regresiones
nos conformamos con...