Tema 7 De Lgebra

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

ASIGNATURA: ÁLGEBRA

ALUMNO: CEDILLO ANGELES LUIS DANIEL

GRUPO: 1128

PROFESORA: ANA MARRISSA JUÁREZ

TEMA 7: “ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS”









TEMA 7: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
OBJETIVO: El alumno analizará y manejará las operaciones binarias y sus propiedades dentro de una estructura algebraica.7.1.-OPERACIÓN BINARIA
Operaciones como la suma, resta, multiplicación o división de números son consideradas operaciones binarias, ya que asocian a un par de números con un resultado. En general, una operación binaria tiene dos características esenciales:
Se aplica a un par de elementos con una naturaleza determinada.
Asocia a dicho par con otro único elemento de la misma naturaleza determinada; laasociación se realiza por medio de un criterio definido.
Definición:
Una operación binaria (∗) definida en un conjunto 𝑆 no vacío es una función 𝑓: 𝑆 × 𝑆 → 𝑆 que relaciona un par de elementos 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 con una imagen 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑐 ∈ 𝑆.
Ejemplo: Si se considera al conjunto de los números racionales y la suma, se tendrá que dicha operación asocia a un par de números racionales otro único número racional; esdecir, para el par de números racionales ( ), existe un único número denotado como que se conoce como la suma de El criterio para obtener la suma de dos números racionales es:

Además de las operaciones tradicionales, es posible expresar otras operaciones binarias.
Propiedades de las Operaciones Binarias:
Cerradura
Si el resultado de aplicar una operación binaria (∗) está definido en unconjunto 𝑆, entonces se dice que 𝑆 es cerrado con respecto a dicha operación binaria; es decir,
𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝑆, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆
Ejemplo: Sea la operación binaria 𝑥 ‡ 𝑦 = 𝑥𝑦 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ. Se obtiene un resultado que puede o no pertenecer a los números enteros. Si el segundo operando fuese mayor a cero, el resultado es un número entero; por ejemplo, (−2,3) arrojaría el siguiente resultado:
−2 ‡ 3 = (−2)3
quees −8 ∈ ℤ. En cambio si la pareja a operar fuese (3, −2), el resultado sería
3 ‡ −2 = (3)-2
que es el número fraccionario ∉ ℤ, ya que es un número racional; por lo tanto, la operación (‡) no es cerrada para el conjunto de los números enteros.
Asociativa
Al momento de definir una operación binaria se precisó que sólo podía realizarse con dos elementos de un solo conjunto; es decir, altratar de operar tres elementos, primero se debe realizar la operación con dos de ellos, y después trabajar con el resultado y el tercer elemento. Este proceso de asociar elementos para operarlos se define como propiedad asociativa.
Para una operación binaria (∗) definida en el conjunto 𝑆, la asociación de elementos especifica que
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 =𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
Ejemplo 1: En la suma de números enteros se tiene la asociación cumplida
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ
que a su vez es extensión de la suma en los números naturales.
Ejemplo 2: Para las matrices de orden 𝑚 × 𝑛 y la operación de suma, es posible asociar los elementos que se operarán:
(𝐴𝑚×𝑛 + 𝐵𝑚×𝑛) + 𝐶𝑚×𝑛 = 𝐴𝑚×𝑛 + (𝐵𝑚×𝑛 + 𝐶𝑚×𝑛)
y elresultado no se verá alterado.
Elementos idénticos o neutros
Si existe un elemento 𝑒 dentro de un conjunto, que tiene la propiedad de no alterar a otro elemento 𝑎 cuando se les aplica una operación binaria; entonces se habla de un elemento idéntico
Si se define la operación binaria (∗) dentro del conjunto 𝑆, y existe un elemento 𝑒 ∈ 𝑆 tal que
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎, ∀ 𝑎 ∈ 𝑆, entonces 𝑒 es un elemento neutro porla derecha.
𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎, ∀ 𝑎 ∈ 𝑆, entonces 𝑒 es un elemento neutro por la izquierda.
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 ⇒ 𝑎, ∀ 𝑎 ∈ 𝑆, entonces 𝑒 es un elemento neutro para (∗).
Ejemplo: Si se considera al conjunto de las matrices de orden 𝑚 × 𝑛 y la operación de multiplicación, se verifica que el elemento neutro sería la matriz identidad:
𝐼𝑚 𝐴𝑚×𝑛 = 𝐴𝑚×𝑛
donde 𝐼𝑚 es la matriz identidad de orden 𝑚, la cual es...