Tema 7 Relaciones Elipses Mate B Sicas PreC Lculo 1

´
´
MATEMATICAS
BASICAS

Autor: Lorenzo Acosta Gempeler
Edici´on: Jeanneth Galeano Pe˜
naloza
Rafael Ballestas Rojano
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matem´
aticas
Sede Bogot´
a

Febrero de 2014
Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Relaciones y elipses

1/1

Parte I
Relaciones

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Relaciones y elipses2/1

Relaciones
Una relaci´on (real) es un subconjunto de R2 .

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Relaciones y elipses

3/1

Relaciones
Una relaci´on (real) es un subconjunto de R2 .
Si S es una relaci´on entonces el dominio de S es el conjunto de las
primeras componentes de las parejas en S,
Dom(S) = {x : (∃y )((x, y ) ∈ S)}.

Universidad Nacional de Colombia

Matem´aticas B´
asicas

Relaciones y elipses

3/1

Relaciones
Una relaci´on (real) es un subconjunto de R2 .
Si S es una relaci´on entonces el dominio de S es el conjunto de las
primeras componentes de las parejas en S,
Dom(S) = {x : (∃y )((x, y ) ∈ S)}.

La imagen de S es el conjunto de las segundas componentes de las parejas
en S,
Im(S) = {y : (∃x)((x, y ) ∈ S)}.

Universidad Nacional de ColombiaMatem´
aticas B´
asicas

Relaciones y elipses

3/1

Ejemplo 1

A = {(1, 2), (5,

√

2), (−1, 0), (π, π)}

Ejemplo 1
y
A = {(1, 2), (5,

√

2), (−1, 0), (π, π)}

(π, π)
(1, 2)
√
(5, 2)
x

(−1, 0)

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Relaciones y elipses

4/1

Ejemplo 1
y
A = {(1, 2), (5,

√

2), (−1, 0), (π, π)}

(π, π)
(1, 2)
√
(5, 2)

Dom(A) = {1, 5, −1, π}

x

(−1, 0)Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Relaciones y elipses

4/1

Ejemplo 1
y
A = {(1, 2), (5,

√

2), (−1, 0), (π, π)}

(π, π)
(1, 2)
√
(5, 2)

Dom(A) = {1, 5, −1, π}

x

(−1, 0)
√

Im(A) = {2, 2, 0, π}

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Relaciones y elipses

4/1

Ejemplo 2

B = {(x, y ) ∈ R2 : y = 2x ∧1 ≤ x ≤ 3}

Ejemplo 2
y
(3, 6)
B = {(x, y ) ∈ R2 :y = 2x ∧1 ≤ x ≤ 3}

(1, 2)

x

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Relaciones y elipses

5/1

Ejemplo 2
y
(3, 6)
B = {(x, y ) ∈ R2 : y = 2x ∧1 ≤ x ≤ 3}
Dom(B) = [1, 3]
(1, 2)

x

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Relaciones y elipses

5/1

Ejemplo 2
y
(3, 6)
B = {(x, y ) ∈ R2 : y = 2x ∧1 ≤ x ≤ 3}
Dom(B) = [1, 3]
(1, 2)

Im(B) = [2, 6]

xUniversidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Relaciones y elipses

5/1

Ejemplo 3

C = {(x, y ) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}

Ejemplo 3

C = {(x, y ) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}
y
2
1

-2

-1

1

2

x

-1
-2

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Relaciones y elipses

6/1

Ejemplo 3

C = {(x, y ) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}
y
2

Dom(C ) = [−1, 1]

1

-2-1

1

2

x

-1
-2

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Relaciones y elipses

6/1

Ejemplo 3

C = {(x, y ) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}
y
2

Dom(C ) = [−1, 1]
Im(C ) = [−1, 1]

1

-2

-1

1

2

x

-1
-2

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Relaciones y elipses

6/1

Relaciones
Cuando se define una relaci´
on S por comprensi´
on se obtiene
S = {(x, y) ∈ R2 : p(x, y )},
donde p(x, y ) es un predicado en las variables x e y .
La relaci´on S queda completamente determinada por el predicado p(x, y ).

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Relaciones y elipses

7/1

Relaciones
Cuando se define una relaci´
on S por comprensi´
on se obtiene
S = {(x, y ) ∈ R2 : p(x, y )},
donde p(x, y ) es un predicado en las variables x e y .La relaci´on S queda completamente determinada por el predicado p(x, y ).
Ejemplo: Si C = {(x, y ) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1}
entonces p(x, y ) es la conjunci´
on
−1 ≤ x ≤ 1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1.

Universidad Nacional de Colombia

Matem´
aticas B´
asicas

Relaciones y elipses

7/1

Ejemplo 4

C1 = {(x, y ) ∈ R2 : −1 ≤ x−3 ≤ 1 ∧−1 ≤ y ≤ 1}
= {(x, y ) ∈ R2 : p(x − 3, y )}

y

2
1
-2

-1

1

2

3

4...