tema 9

BLOQUE II
Álgebra
3.
4.
5.
6.

Polinomios y fracciones algebraicas
Resolución de ecuaciones
Sistemas de ecuaciones
Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

3

Polinomios y fracciones algebraicas

1. Binomio de Newton

PIENSA Y CALCULA
Desarrolla mentalmente:
a) (x + 1)2
Solución:
a) x2 + 2x + 1

b)(x – 1)2

c) (x + 1)(x – 1)

b) x2 – 2x + 1

c) x2 – 1

APLICA LATEORÍA
1 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fór-

mula de Newton:
(x + 1)3
Solución:

Solución:
x6 3x5y 15x4y2 5x3y3 15x2y4
— – —— + —— – —— + —— – 3xy5 + y6
64
16
16
2
4
5 Halla el término séptimo en el desarrollo de:

x3 + 3x2 + 3x + 1

(2x – y)10

2 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fór-

mula de Newton:

Solución:
Como se pide el término 7, r = 6(x – 2)4

T7 = T6 + 1 = (– 1)6

Solución:
x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16

()
10
6

(2x)4 y6 = 3 360x4 y6

6 Calcula el término en el que el grado de x es 2

3 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fór-

(

en el desarrollo de x +

1
x

)

12

mula de Newton:
Solución:

Solución:

Tr + 1 =

x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5

Luego

()
12

()

1r = 12 x12 – 2r
x12 – r · —
x
r
r

()

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

(x + y)5

12 – 2r = 2 ò r = 5
4 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fór-

El término que se pide es:

mula de Newton:
6

( )
x
–y
2

124

T6 = T5 + 1 =

()
12
5

x2 = 792x2

SOLUCIONARIO

2. Teorema del resto y del factor

PIENSA Y CALCULA
Calcula mentalmente el valor delpolinomio P(x) =
a) x = 0
b) x = 1
Solución:
a) P(0) = 9

x3

–

4x2

+ 5x + 9 para los valores siguientes:

b) P(1) = 11

APLICA LA TEORÍA
7 Calcula P(x) : Q(x), siendo:

P(x) =

4x5

–

6x4

+

2x2

+8

Q(x) = x2 – 2x – 1

11 Halla, sin hacer la división, el resto de dividir:

P(x) = 2x3 – 4x2 + 5 entre x – 3
Solución:
Resto = P(3) = 23

Solución:
C(x) = 4x3 +2x2 + 8x + 20
R(x) = 48x + 28

12 Comprueba mentalmente, y sin hacer la división,
8 Halla P(x) : Q(x) por Ruffini, siendo:

P(x) = 2x3 + 6x2 – 3x – 1
Q(x) = x + 3

que el polinomio P(x) = x3 + 2x2 – 7x + 4 es divisible entre x – 1
Solución:
Resto = P(1) = 0

Solución:
C(x) = 2x2 – 3
R(x) = 8

13 Halla el valor de k para que el resto de la siguiente

9 Calcula el valor numéricodel siguiente polinomio

para los valores que se indican:

división sea 5
(x4 + kx2 – 6x + 2) : (x + 1)

P(x) = x4 – 3x3 + 5x – 4

Solución:

a) Para x = 2

Por el teorema del resto:

b) Para x = – 2

Solución:

P(– 1) = 5 ò k + 9 = 5 ò k = – 4

a) P(2) = – 2

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

b) P(– 2) = 26
10 ¿Cuál de estos números: 2 o – 2 es raíz del polino-

mio P(x)= 3x3 – 6x2 + 12x – 24?

14 Halla el valor de k para que el polinomio

P(x) = x3 – 5x2 + kx + 8
sea divisible entre x – 2

Solución:

Solución:

P(2) = 0 ò x = 2 es raíz de P(x)

Por el teorema del factor:

P(– 2) = – 96 π 0 ò x = – 2 no es raíz de P(x)

P(2) = 0 ò 2k – 4 = 0 ò k = 2

TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

125

3. Factorización de polinomios

PIENSAY CALCULA
Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces:
b) x2 + 6x + 9
c) x2 – 4x + 4
d) x2 – 4
a) x2 + 2x
Solución:
a) x(x + 2)
Raíces:
x = 0, x = – 2

b) (x + 3)2
Raíces:
x = –3

c) (x – 2)2
Raíces:
x=2

d) (x + 2)(x – 2)
Raíces:
x = – 2, x = 2

APLICA LA TEORÍA
15 Factoriza mentalmente los siguientes polinomios:

a)

x2

c)

x2

+ 5x
+2x + 1

b)

x2

–9

d)

x2

– 6x + 9

c) (x + 2)2

a) (x – 1)(x + 2)(x – 3)
x1 = 1, x2 = – 2, x3 = 3
b) (x – 1)2(x – 3)

Solución:
a) x(x + 5)

Solución:

b) (x + 3)(x – 3)
d) (x – 3)2

x1 = x2 = 1, x3 = 3
c) (x + 1)(x – 2)2(x + 3)
x1 = – 1, x2 = x3 = 2, x4 = – 3
d) (x + 1)(x – 1)(x – 3)(x – 5)

16 Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y

halla sus...