Tema 9

Tema 9
Lugares geométricos
cónicas.

María Sánchez Jiménez
1ºA Bach.




Índice

9.1. Lugares geométricos.
9.2. Estudio de la circunferencia.
9.3. Potencia de un punto a una circunferencia.
9.4. Las cónicas como lugares geométricos.
9.5. Estudio de la elipse.
9.6. Estudio de la hipérbola.
9.7. Estudio de la parábola.
9.8. Tangentes a las cónicas.




9.1. Lugares geométricos
Se llama lugargeométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta popularidad.
a) La mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos, X, que equidistan de sus extremos:
Dist (X, A) = Dist (X, B)
b) La bisectriz de un ángulo de lados r1, r2 es el lugar geométrico de los puntos, X, que equidistan de r1 y de r2:
Dist (X, r1) = dist (X, r2)
c) Circunferencia de centro O y radio r es ellugar geométrico de los puntos, X, cuya distancia a O es r:
Dist (X, O) = r

Llamando (x, y) a las coordenadas del punto genérico, X (x, y) y aplicando analíticamente la propiedad que debe cumplir, se obtiene la ecuación de la figura geométrica.


ATENCIÓN

Es muy importante que interpretes cada una de estas líneas como un conjunto de puntos que cumplen una propiedad:
a) Si X es un punto de lamediatriz, su distancia a A es igual que su distancia a B.
b) Si X es un punto de la bisectriz, …
c) Si X es un punto de la circunferencia, …

Ejercicio ejemplo.

9.2. Estudio de la circunferencia.
La ecuación de una circunferencia de centro O (a, b) y radio r es:

Para simplificar la expresión, elevamos al cuadrado los dos miembros y reordenamos los términos:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
X2 –2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
X2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2= 0
Observamos que se trata de un polinomio de segundo grado en x e y, tal que los coeficientes de x2 e y2 son ‘’1’’ y que no tiene término en xy:
X2 + y2 + Ax + By + C = 0



Conclusión:

Si de una circunferencia conocemos el centro O (a, b) y el radio r, su ecuación será:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Ahora podemos desarrollary simplificar o no hacerlo, según convenga.
Si tenemos una expresión de segundo grado en x e y del tipo:
X2 + y2 + Ax + By + C = 0
y queremos saber si es una circunferencia y, en caso afirmativo, obtener su centro y su radio:

I. Observamos que los coeficientes de x2 e y2 son 1. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos.
II. Observamosque no tiene término en xy.
III. Comprobamos que + – C > 0
En tal caso, es una circunferencia. Su centro es: (- Su radio es:

Ejercicio ejemplo




Posiciones relativas de una recta y de una circunferencia.

Una recta, s, y una circunferencia C, pueden ser exteriores (a), tangentes (b) o secantes (c y d). Analíticamente puede identificarse su posición de dos maneras:
I.Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones, que tendrá dos soluciones (se cortan), una (son tangentes) o ninguna (son exteriores).
II. Comparando la distancia, d, de OC a s con el radio, r, de la circunferencia:
Si d > r, son exteriores.
Si d = r, son tangentes.
Si d < r, son secantes, y si d = 0, la recta pasa por el centro.





9.3. Potencia de un punto a una circunferencia.
Dados unpunto P (α, β) y una circunferencia X de centro O(a, b) y radio r, llamamos d a la distancia de P a O: d = PO.
Se llama potencia P del punto P a la circunferencia C a d2 – r2.
P = d2 – r2 = (α – a)2 + (β – b)2 – r2
Si el punto es exterior a la circunferencia (d > r)  P > 0
Si el punto es de la circunferencia (d = r)  P = 0
Si el punto es interior a la circunferencia (d < r)  P < 0Observando la ecuación de C, (x – a)2 + (y – b)2 – r2 = 0, advertimos que P es el resultado de sustituir las coordenadas del punto P (α, β) por las x e y en dicha ecuación.





Eje radical de dos circunferencias

Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a ambas.
El eje radical de dos circunferencias es una recta...