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Método de Gauss JordanEste método debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm jordan. Se trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reducción del sistema dado a otro quesea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendrá una incógnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se conoce como forma escalonada.Este método, permite resolver hasta 20 ecuaciones simultáneas. Lo que lo diferencia del método Gaussiano es que cuando es eliminada una incógnita, se eliminará de todas las ecuaciones restantes, o sea, las queanteceden a la ecuación principal así como de las que la siguen a continuación. De esta manera el paso de eliminación forma una matriz identidad en vez de una matriz triangular. No es necesario entonces utilizar la sustitución hacia atrás para conseguir la solución.
Algoritmo:
Ir a la columna no cero extrema izquierda
Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otroque no lo tenga.
Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él.
Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en forma escalonada).
Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba:para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.
Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) asípara cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida.
Ejemplo


La solución del sistema es igual a
X1=-1
X2=4
Método de Descomposición LU
La descomposición LU es la forma de expresar las transformaciones del método Gauss-Jordan por medido de ecuaciones matriciales, lo que implica una reducción notable en las operaciones propias y, naturalmente, en el diseñodel algoritmo. Así mismo, se reduce notablemente el impacto de la producción de errores debidos al pivoteo; adicionalmente, la descomposición LU puede utilizarse para otros procesos como la obtención de la matriz inversa.
Esto es:

Donde:
L - Matriz triangular inferior
U - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
De lo anterior, para matrices de3x3 se escribe:
 =  
Si efectuamos la multiplicación de L y U, igualando los elementos de ese producto con los de la matriz A correspondientes, se obtiene:

De aquí que los elementos de L y U son, en este caso:

Si el sistema de ecuaciones original se escribe como:
A x = b
lo cual resulta lo mismo escribir:
L U X = b
Definiendo a:
U X = Y
podemos escribir:
L Y = b
Resolviendo paraY, encontramos:

El algoritmo de solución, una vez conocidas L, U y b, consiste en encontrar primeramente los valores de "Y" por sustitución progresiva sobre "L Y = b". En segundo lugar se resuelve "U x = y " por sustitución regresiva para encontrar los valores de "x", obteniendo:

La determinación de los elementos de las matrices L y U se realizan eficientemente aplicando una forma modificadadel método de eliminación de Gauss.
Se observa que el método de descomposición LU opera sólo sobre la matriz de coeficientes, sin modificar el vector de excitación (en este caso b), por lo que resulta superior al método de eliminación gausiana.
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, factorizando la matriz en LU:
  = 
Las matrices de factores L y U de A son:
L =  U = 
El...