TEMA I

IES PADRE JUAN DE MARIANA

2015

TEMA I. MATRICES REALES
1.- Definición de matriz . Una matriz real de orden mxn siendo m y n números naturales es
un conjunto de mxn números distribuidos en “m” filas y “n” columnas.
3
7 2
1 5 4
0 5
8
Ejemplos:
;
0
2 6 2x3
4
6 4
3
3 1 4x3
A los números que componen las matrices se les llama elementos. Se representan en general
por la expresión aij donde “i”representa la fila y “j” la columna en la que se encuentra.
a 11 a 12 a 13
Ejemplo:
a 21 a 22 a 23 2 x 3

2.- Clases de matrices.
a) Si el número de filas es igual al de columnas se llama cuadrada
b) Si no es igual se llama rectangular
c) Si sólo hay una fila se llama matriz fila Ejemplo: ( 5 – 2 6 )
3
d) Si sólo hay una columna se llama matriz columna. Ejemplo:
7
t
e) Dada una matriz A, su traspuesta (A ) es la que se obtiene al cambiar filas por
1 0
1 5 4
2
columnas en el mismo orden. Ejemplo: A =
At = 5
0
2 6 2x3
4
6 3x 2
f) Si todos los elementos de la matriz son 0 se llama matriz nula. Ejemplos: A=
0 0 0
0 0 0
B= 0 0 0
0 0 0 2x3
0 0 0 3x 3
g) En las matrices cuadradas los elementos de la forma a ii forman la diagonal principal.
0
3 9
La otra diagonal se llama secundaria. Ejemplos :

5

16 . Los números 0, 1,
8 4

2
4 forman la diagonal principal y el 9, 1 y – 2 la secundaria
h) Una matriz cuadrada es simétrica si se cumple que
0
3 9
3 1
8
9

8

4

1

aij = aji . Ejemplo:

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2015

i) Una matriz cuadrada es una matriz diagonal si los elementos que no están en la
7 0 0
diagonal principal son 0. Ejemplo: 0 0

0

0 0
2
j) Una matriz diagonal en la que todoslos elementos de la diagonal principal son 1 se
1 0 0
1 0
llama matriz unidad o identidad. Ejemplo:
; 0 1 0
0 1
0 0 1
k) Una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima o debajo de la diagonal
7 0 0
5 0 0
principal son 0 se llama matriz triangular. Ejemplo:
4 2

2

3.- Igualdad de matrices
Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y además los elementos colocados en el
mismolugar, valen lo mismo. (han de ser la misma matriz)

2

a

c 7

3 y B = 1 d sean iguales
Ejemplo: Calcula a, b, c y d para que las matrices A = 1
b 0
5 0
Sol: Comparándolas se tiene que a = 7 ; b = 5 ; c = 2 ; d = – 3
4.- Operaciones con matrices
a) Suma. Dadas dos o más matrices del mismo orden, su suma es otra matriz del mismo
orden cuyos elementos se obtienen como suma de los elementos colocadosen el mismo lugar
de las matrices sumandos.
Ejemplo:

1
0

5 4
2 6

+
2x3

6 4
3 5

7
1

2x3

5 9
3 3

3
5

2x3

b) Multiplicación por un número. Para multiplicar una matriz cualquiera por un número
real, se multiplican todos los elementos de la matriz por dicho número.
Ejemplo: – 2·

1
0

5 4
2 6

=
2x3

2
0

10
4

8
12

2x3

c) Producto de matrices. El resultado de multiplicar dos matrices esotra matriz en la que el
elemento que ocupa el lugar cij se obtiene sumando los productos parciales que se obtienen al
multiplicar todos los elementos de la fila “i” de la primera matriz por los elementos de la
columna “j” de la segunda matriz.

2

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1
4

Ejemplo:

=

15
31

2
·
5

9

1
7

5 4
2 6

2015

1( 1) ( 2)·7 1·5 ( 2)( 2) 1·4 ( 2)·6
4( 1) 5·7
4·5 5( 2)
4·4 5·6

8

1046

Nótese que para que esta operación tenga sentido tal y como se ha definido, es preciso que el
número de columnas de la primera matriz, coincida con el de filas de la segunda. En caso
contraria no casarían las multiplicaciones parciales. La matriz resultante tiene el número de
filas de la primera y el de columnas de la segunda. Es importante subrayar también que en el
caso en que se pudieranmultiplicar las matrices A·B y B·A , el resultado generalmente es
diferente, lo que nos dice que la multiplicación de matrices no tiene la propiedad conmutativa.
5.- Matrices traspuestas
Dada una matriz A, su traspuesta ( At ) es la que se obtiene al cambiar filas por columnas en el
1 0
1 5 4
t
2
mismo orden. Ejemplo: A =
A = 5
0
2 6 2x3
4
6 3x 2
5.1.- Propiedades
a)

It n = In

b) (At )t = A

e)...