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Tema 2.- ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE
ORDEN SUPERIOR
Ampliación de Matemáticas.
Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice General
1 Introducción

1

2 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

3

3 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes. Obtención
de la solución general
4
4 Ecuaciones diferenciales lineales nohomogéneas.
5 Estudio de algunos sistemas físicos que conducen a una ecuación diferencial ordinaria
5.1 Muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Muelle sometido a rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Muellesometido a rozamiento y a una fuerza externa sinusoidal . . . . . . . . . . .
5.2 Péndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Ausencia de rozamiento y de fuerza externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Péndulo sometido a rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Péndulo sometido arozamiento y a una fuerza externa sinusoidal . . . . . . . . . .
5.3 Circuito eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Circuito LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Circuito LCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Circuito LCR con una fuente detensión sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Solución de los problemas de valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Ecuación
x00 + ω 2 x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
5.4.2 Ecuación x00 + x0 + ω 2 x = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
τ
1
5.4.3 Ecuación x00 + x0 + ω 2 x = A0 cos ω 0 t. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
τ

1

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9
10
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Introducción

A lo largo de este tema expondremos algunas propiedades que poseen las E.D.O. lineales de orden n y
se desarrollarán métodos generales para determinar sus soluciones. Prestaremos especial atención a las
ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.
Llamamos ecuación diferenciallineal de orden n a toda ecuación que se puede expresar en la
forma
y n) + a1 (x)y n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y = f (x)

(1)

para la que admitimos que los coeficientes ai (x), i = 1, 2, . . . , n y el segundo miembro f (x) son funciones
definidas en un intervalo I ⊆ R.
La ecuación (1) se dice homogénea o incompleta si f (x) = 0 para todo x ∈ I. En caso contrario,
se dice no homogénea ocompleta.
1

Tema 2. E.D.O. lineales de orden superior. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

El problema de valor inicial asociado a la ecuación diferencial (1) es
⎧ n)
y + a1 (x)y n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y = f (x)
⎪
⎪
⎪ y(x ) = y
⎪
0
⎪
⎨ 0 0
y (x0 ) = y00
⎪
..
⎪
⎪
.
⎪
⎪
⎩ n−1)
n−1)
y
(x0 ) = y0
n−1)

donde x0 ∈ I e y0 , y00 , . . . , y0

2

(2)

son constantesarbitrarias.

En el teorema siguiente se muestran condiciones suficientes para la existencia de una única solución
del problema de valor inicial.

Teorema 1.1 (Existencia y unicidad)
Si las funciones a1 (x), a2 (x), . . . , an (x) y f (x) son continuas en un intervalo abierto I que contiene
al punto x0´, entonces el problema de valores iniciales (2) posee una única solución, para cada
³
n−1)
y0 , y00 ,. . . , y0
∈ Rn , definida en dicho intervalo.

En lo que sigue supondremos que los coeficientes a1 (x), a2 (x), . . . , an (x) y el segundo miembro f (x)
de la ecuación (1) son funciones continuas en algún intervalo I. De esta forma, tendremos garantizado
que la ecuación (1) tienen infinitas soluciones definidas en el intervalo I.
A continuación introduciremos algunos conceptos que se...