Tema04

´
TEMA 4. METODOS
DIRECTOS PARA ECUACIONES LINEALES

4 M´
etodos directos para la resoluci´
on de ecuaciones algebraicas lineales

127

4.1

Aplicaciones en Ingenier´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.2

Sistemas de Ecuaciones Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.3

4.2.1

Sistemas de Ecuaciones Diagonales . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 131

4.2.2

Sistemas de Ecuaciones Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.2.3

Condicionamiento de la soluci´on de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . 137

4.2.4

M´as sobre condicionamiento. Los errores en b . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Eliminaci´on de Gauss y Factorizaci´
on LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.3.1Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.3.2

Eliminaci´on de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.3.3

Factorizaci´on LU de Doolittle y Crout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.3.4

C´alculo directo de la factorizaci´on LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.3.5

T´ecnicas de pivotaje yfactorizaci´on LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.3.6

An´alisis de errores regresivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.3.7

Errores y el factor de crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.4

Sistemas de Ecuaciones Tridiagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.5

Factorizaci´on de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 174

´
TEMA 4. METODOS
DIRECTOS PARA ECUACIONES LINEALES

126

4.6

An´alisis de errores y n´
umero de condicionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.6.1

4.7

Sistemas de ecuaciones mal condicionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.7.1

4.8

Errores en el c´alculo de la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Precondicionado y reescalado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

M´etodos de correcci´on residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Bibliograf´ıa

185

14 de noviembre de 2002

c Francisco R. Villatoro, Carmen M. Garc´ıa, Juan I. Ramos. Estas notas est´an protegidas
por derechos de copyright y pueden ser distribuidas libremente s´olo con prop´ositos educativos
sin´animo de lucro. These notes are copyright-protected, but may be freely distributed for instructional nonprofit purposes.

CAP´ITULO

4

´
´ DE ECUACIONES
METODOS
DIRECTOS PARA LA RESOLUCION
ALGEBRAICAS LINEALES

4.1

Aplicaciones en Ingenier´ıa

Son muchas las aplicaciones en ingenier´ıa de la resoluci´on de sistemas lineales. Veamos algunos
ejemplos concretos.
Circuito el´
ectrico pasivo. Enla figura 4.1 aparece un circuito el´ectrico con una fuente
de tensi´on y tres resistencias. Aplicando las leyes de Kirchoff de los nudos y la ley de Ohm,
el voltaje es el producto de la resistencia por la corriente (V = R I), obtenemos f´acilmente el
sistema de ecuaciones lineales
R2 I2 = R3 I3 ,
V − R1 I1 = R2 I2 ,
I1 = I2 + I3 ,
que se puede escribir de forma matricial como


 1 −1 −1


R R
0
 1
2


0 R2 −R3















 I1   0 

 


 

 I  =  V .

 2  

 


 

0
I3

An´
alisis est´
atico de una estructura. En la parte izquierda de la figura 4.2 aparece una
estructura formada por enlaces inextensibles unidos por bornes fijos, que se asemeja a un puente

128

Cap´ıtulo 4. M´etodos directos para la resoluci´on de ecuaciones algebraicaslineales

51

9

,2

,1

52

,3

53

Figura 4.1. Circuito el´ectrico simple s´olo con resistencias.

con un extremo fijo y otro libre para realizar desplazamientos horizontales y sometida a dos
fuerzas (pesos) aplicados en dos de sus nodos. Se pueden calcular las tensiones a las que est´an
sometidos los enlaces de la estructura cuando ´esta est´a en equilibrio aplicando la ley de Newton
de...