Tema07 Ejercicios Resueltos

Tema 7 – Aplicaciones de la derivada – Matemáticas CCSSII – 2º Bachillerato

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TEMA 7 – APLICACIONES DE LA DERIVADA
RECTA TANGENTE
EJERCICIO 1 : Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva f x  
Solución:
 Ordenada del punto: f (0)  1
 Pendiente de la recta: f ' x  

 

2 xe x  x 2  1 · e x
(e x ) 2





x2 1
en x 0  0.
ex

 2x  x 2  1  f ' (0)  1

ex 2x  x 2 1
(e x ) 2

ex

 Ecuación de la recta tangente: y - 1   1 (x  0)  y  x  1
EJERCICIO 2 : Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f (x)  x3  3x2  9x que son paralelas a
la recta y  9x  2.
Solución:
 Si son paralelas a la recta y  9x  2, tienen la misma pendiente; es decir, ha de ser: f ‘(x)  9
x  0
f ' x   3x 2  6x  9  9  3x 2  6x  0  3x ( x  2)  0  
x  2
 Ordenadas en los puntos:f (2)  14; f (0)  0
 Ecuaciones de las rectas tangentes:
- En x  2  y + 14  9 (x  2)  y  9x  4
- En x  0  y  9x
EJERCICIO 3 : Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y  x 2  3x  6 en el punto de abscisa x0  2.
Solución:
 Ordenada en el punto: y (2)  4
2x  3
7
 Pendiente de la recta: y ' 
 y ' 2 
2
8
2 x  3x  6
7
7
9
Ecuación de la recta tangente: y  4  x  2   y  x 
8
8
4
ESTUDIO DE FUNCIONES
EJERCICIO 4 : Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función: f x  
Solución:
f ' x  

6 x  9 3 x  1 3 x 2  9 x  3 3  18 x 2  6 x  27 x  9  9 x 2  27 x  9   9 x 2  6 x
( 3 x  1) 2

(3 x  1) 2


3 x  0  x  0
f ' x   0  9 x  6 x  0  3 x 3 x  2  0 
2
3 x  2  0  x 
3

2

Signo de f ' (x):

2

f x  es creciente en  , 0  ,   ; es decrecient e en
3


2 5
Tiene un máximo en 0,  3 y un mínimo en  ,
.
3 3 

 2
 0, .
 3

(3 x  1) 2

3x 2  9x  3
3x  1

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EJERCICIO 5 : Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función: f(x)  3x2 (x  3)
Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa.
Solución:
 x  0
 Primera derivada: f (x)  3x3  9x2  f ‘(x)  9x2  18x  9x (x  2)  f ' x   0  
 x  2  0  x  2
Signo de f ‘(x):

f (x) es creciente en (, 0)  (2, ); es decreciente en (0, 2).
Tiene un máximo en (0, 0) y un mínimo en (2, 12).
 Segunda derivada: f ‘’(x)  18x  18  f ‘’(x)  0  18x 18  0  x  1
Signo de f ‘’(x):

f (x) es convexa en ( , 1) y es cóncava en (1, ). Tiene un punto de inflexión en (1, 6).
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
EJERCICIO 6 : La suma de tres números positivos es 60. El primero más el doble del segundo más el triple del
tercero suman 120. Halla los números que verifican estas condiciones y cuyo producto es máximo.
Solución:
Llamamos x al primer número, yal segundo y z al tercero. Así, tenemos que:
x  y  z  60 x, y, z  0 x  y  60  z  x  z


 x  2 y  120  3z  y  60  2z
x  2 y  3z  120
El producto de los tres números es: P  x · y · z  z · (60  2z) · z  z2 (60  2z)  f (z), z > 0
Buscamos z para que f (z) sea máximo:
f '(z)  2z (60  2z)  z2 · (2)  2z (60  2z  z)  2z (60  3z)  120z  6z2
z  0 (no vale,pues ha de ser z  0).

z  20
Veamos que en z  20 hay un máximo:f ''(z)  120  12z ; f ''(20)  120 < 0  hay un máximo
Por tanto, el producto es máximo para x  20, y  20, z  20.
f ' z  0 

EJERCICIO 7 : Entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 5 metros, determina razonadamente el que
tiene área máxima.
Solución:

Área 

x 25  x 2
 f x , 0  x  5
2

Buscamos x para queel área sea máxima: f x  
f ' x  

50x  4x 3
4 25x 2  x 4



25x  2x 3
2 25x 2  x 4





25x 2  x 4
2

x 25  2x 2



2x 25  x 2

25  2 x 2
2 25  x 2

Tema 7 – Aplicaciones de la derivada – Matemáticas CCSSII – 2º Bachillerato

f ' x   0



25  2x 2  0



x2 

25
2



3


5 2
(no vale)
x  
2



x  5 2

2

5 2
5 2
y f ' x  0 a su derecha, en x 
hay...