Tema1

Tema

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Repaso de matrices, determinantes y
sistemas de ecuaciones lineales
Comenzamos este primer tema con un problema de motivaci´on.
Problema: El aire puro est´a compuesto esencialmente por un 78 por ciento de nitr´ogeno, un 21 por
ciento de ox´ıgeno y un 1 por ciento de arg´on. Para poder realizar un experimento en el planeta Marte
se dispone de una habitaci´on que queremos llenar con 1000litros de aire puro para los astronautas.
Para ello, la habitaci´on se encuentra alimentada por tres tanques llenos de nitr´ogeno, ox´ıgeno y arg´on
en la siguiente proporci´on:
T1. 50 por ciento de nitr´ogeno y 50 por ciento de ox´ıgeno.
T2. 80 por ciento de nitr´ogeno y 20 por ciento de ox´ıgeno.
T3. 60 por ciento de nitr´ogeno, 30 por ciento de ox´ıgeno y 10 por ciento de arg´on.
Calcular lacantidad de litros necesaria de cada tanque para que la mezcla resultante produzca la
cantidad buscada de 1000 litros de aire puro dentro de la habitaci´on.
Soluci´on: Llamemos x = cantidad de litros necesaria de T1, y = cantidad necesaria de T2 y z =
cantidad necesaria de T3. Seg´un la composici´on de los tanques, la cantidad total de cada gas que
tenemos en la mezcla es:
• 0,5 x + 0,8 y + 0,6 z denitr´ogeno,
• 0,5 x + 0,2 y + 0,3 z de ox´ıgeno,
• 0,1 z de arg´on.
Por otro lado, las cantidades totales de estos gases que queremos obtener son las correspondientes a
1000 litros de aire puro, es decir, 780 litros de nitr´ogeno, 210 litros de ox´ıgeno y 10 litros de arg´on.
Por tanto, las cantidades buscadas x, y, z satisfacen lo siguiente:

0,5 x + 0,8 y + 0,6 z = 780 
0,5 x + 0,2 y + 0,3 z =210 .

0,1 z = 10
El conjunto de ecuaciones anterior es un caso particular de los llamados sistemas de ecuaciones lineales, que estudiaremos a lo largo de este tema. La soluci´on de nuestro problema coincide con la
U NIVERSIDAD DE G RANADA . C URSO 2009-10

Matrices

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soluci´on del sistema anterior. En este caso es f´acil de calcular y resulta lo siguiente: x = 0, y = 900,
z = 100. Endefinitiva, para producir 1000 litros de aire puro debemos llenar la habitaci´on con 900
litros del tanque 2 y 100 litros del tanque 3.
Nuestro objetivo principal en este tema consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo:

a11 x1 + . . . + a1m xm = b1 
...
...
.

an1 x1 + . . . + anm xm = bn
Una soluci´on para este sistema vendr´a formada por un valor para cada inc´ognita xi de manera que
severifiquen a la vez todas las igualdades. Nuestra intenci´on es estudiar dichas soluciones. Para ello,
tendremos que trabajar con los coeficientes ai j y bk . Como veremos, ser´a u´ til escribirlos de la forma:




a11 . . . a1m
b1

..  , b =  ..  .
A =  ... · · ·
 . 
. 
bn
an1 . . . anm
Este tipo de expresiones se llaman matrices, y ser´an nuestro pr´oximo objeto de estudio.

1.1.Matrices
Definici´on: Una MATRIZ es un conjunto de n´umeros reales dispuestos en forma de rect´angulo,
que usualmente se delimitan por medio de par´entesis. Si una matriz tiene n filas y m columnas, se dice
que es una matriz de orden n × m. N´otese que una tal matriz tiene n · m elementos.
El elemento (o componente) (i, j) de una matriz A es el n´umero ai j que se sit´ua en la fila i y la
columna j.Por ejemplo, la matriz:
−1 9 6
A=
0 1 4
es 2 × 3, y su elemento (1, 2) es a12 = 9.
Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo n´umero de filas y columnas, y adem´as todos
sus componentes (i, j) son iguales, es decir, ai j = bi j para cualesquiera i, j.
A continuaci´on introducimos algunas definiciones:
Una matriz que est´e formada por una sola columna, se llama VECTOR
mente, una matrizformada por una u´ nica fila se llama VECTOR FILA.

COLUMNA .

An´aloga-

Si A es una matriz n × m, su MATRIZ TRASPUESTA es una matriz m × n cuyas filas son las
columnas de A. Se representa por At . En el ejemplo anterior, la matriz At ser´ıa:


−1 0
At =  9 1  .
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Una matriz se dice que es SIM E´ TRICA si es igual a su traspuesta. Para ello, obviamente, deber´a tener el mismo n´umero de filas...