Tema10
Páginas: 40 (9834 palabras)
Publicado: 3 de mayo de 2015
10
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 191
Pág. 1
PARA EMPEZAR…
▼ Calcula al estilo de Arquímedes
ÁREA DEL CÍRCULO
■
¿Cuál es la suma de sus bases?
¿Cuál es la altura de todos ellos?
r
Sustituye y obtendrás la superficie del círculo.
O
A = 1 (Suma de todas sus bases) · Altura
2
La suma de todas sus bases es la longitud de la circunferencia, 2πr.
La altura de cadatriángulo, para una base muy pequeña, es próxima al radio del círculo, r.
A = 1 (Suma de todas sus bases) · altura = 1 · 2πr · r = πr 2
2
2
VOLUMEN DE LA ESFERA
■
O
r
Aplica la fórmula:
V = 1 (Suma de las superficies de las bases) · Altura
3
para obtener el volumen de la esfera.
La suma de la superficie de las bases coincide con la superficie esférica, 4πr 2.
La altura de cada pirámide es muy próximaal radio de la esfera, r.
V = 1 (Suma de las superficies de las bases) · Altura = 1 (4πr 2) · r = 4 πr 3
3
3
3
Unidad 10. Figuras en el espacio
10
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 193
Pág. 1
1 Haz una tabla, en tu cuaderno, con el número de caras, vértices y aristas de los cinco
poliedros regulares.
a) Comprueba que los cinco cumplen la fórmula de Euler.
b) Comprueba queel dodecaedro y el icosaedro cumplen las condiciones necesarias
para ser duales.
c) Comprueba que el tetraedro cumple las condiciones para ser dual de sí mismo.
TETR.
CUBO
OCT.
DODEC.
ICOS.
CARAS
4
6
8
12
20
VÉRTICES
4
8
6
20
12
ARISTAS
6
12
12
30
30
a) Tetraedro 8 4 + 4 – 6 = 2
Cubo 8 6 + 8 – 12 = 2
Octaedro 8 8 + 6 – 12 = 2
Dodecaedro 8 12 + 20 – 30 = 2
Icosaedro 8 20 + 12– 30 = 2
b) Al unir mediante segmentos los centros de cada dos caras contiguas de un dodecaedro, se
forma un icosaedro. Si hiciéramos lo mismo con un icosaedro, obtendríamos un dodecaedro. Además, el número de caras del dodecaedro coincide con el número de vértices
del icosaedro, y viceversa. Ambos tienen el mismo número de aristas. Por tanto, son
poliedros duales.
c)
Al unir mediante segmentoslos centros de cada dos caras
contiguas de un tetraedro, se forma otro tetraedro. Además,
el número de caras y de vértices en un tetraedro son iguales.
El tetraedro es dual de sí mismo.
2 Hemos señalado en rojo los centros de las caras “frontales” de estos poliedros, y más
claro, los centros de algunas caras “ocultas”. Uniéndolos convenientemente se obtienen los poliedros duales. Hazlo en tucuaderno.
octaedro – cubo
Unidad 10. Figuras en el espacio
dodecaedro – icosaedro
tetraedro – tetraedro
10
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 194
1 Vamos a truncar, dando cortes que pasen por los puntos medios de las aristas, los restantes poliedros regulares.
a) Al truncar de este modo un tetraedro, se obtiene una figura conocida. ¿Cuál?
b) El resultado de truncar el octaedrotambién es conocido. ¿Comprendes, ahora, por
qué a esta figura se la llama cuboctaedro?
c) Describe la figura que resulta de truncar (puntos medios de las aristas) un dodecaedro y explica por qué es un poliedro semirregular (se llama icosidodecaedro).
d) Describe la figura que resulta de truncar (puntos medios de las aristas) un icosaedro.
e) Relaciona los resultados anteriores con la dualidad depoliedros estudiada en la
página anterior.
a) La figura que queda es un octaedro.
b) La figura que queda es un cuboctaedro.
c) El icosidodecaedro se compone de pentágonos regulares y de triángulos equiláteros. En
cada vértice confluyen dos pentágonos y dos triángulos.
Unidad 10. Figuras en el espacio
Pág. 1
10
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
d) También sale un icosidodecaedro.e) La figura que resulta al truncar dos poliedros duales es la misma.
Unidad 10. Figuras en el espacio
Pág. 2
10
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
PÁGINA 195
x
2 ¿A qué distancia del vértice hemos de cortar los triángulos
pequeños para que el hexágono resultante sea regular?
x = 1 l, donde l es el lado del triángulo.
3
3
Describe el tetraedro truncado.
¿Cuántas caras...
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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PARA EMPEZAR…
▼ Calcula al estilo de Arquímedes
ÁREA DEL CÍRCULO
■
¿Cuál es la suma de sus bases?
¿Cuál es la altura de todos ellos?
r
Sustituye y obtendrás la superficie del círculo.
O
A = 1 (Suma de todas sus bases) · Altura
2
La suma de todas sus bases es la longitud de la circunferencia, 2πr.
La altura de cadatriángulo, para una base muy pequeña, es próxima al radio del círculo, r.
A = 1 (Suma de todas sus bases) · altura = 1 · 2πr · r = πr 2
2
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VOLUMEN DE LA ESFERA
■
O
r
Aplica la fórmula:
V = 1 (Suma de las superficies de las bases) · Altura
3
para obtener el volumen de la esfera.
La suma de la superficie de las bases coincide con la superficie esférica, 4πr 2.
La altura de cada pirámide es muy próximaal radio de la esfera, r.
V = 1 (Suma de las superficies de las bases) · Altura = 1 (4πr 2) · r = 4 πr 3
3
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1 Haz una tabla, en tu cuaderno, con el número de caras, vértices y aristas de los cinco
poliedros regulares.
a) Comprueba que los cinco cumplen la fórmula de Euler.
b) Comprueba queel dodecaedro y el icosaedro cumplen las condiciones necesarias
para ser duales.
c) Comprueba que el tetraedro cumple las condiciones para ser dual de sí mismo.
TETR.
CUBO
OCT.
DODEC.
ICOS.
CARAS
4
6
8
12
20
VÉRTICES
4
8
6
20
12
ARISTAS
6
12
12
30
30
a) Tetraedro 8 4 + 4 – 6 = 2
Cubo 8 6 + 8 – 12 = 2
Octaedro 8 8 + 6 – 12 = 2
Dodecaedro 8 12 + 20 – 30 = 2
Icosaedro 8 20 + 12– 30 = 2
b) Al unir mediante segmentos los centros de cada dos caras contiguas de un dodecaedro, se
forma un icosaedro. Si hiciéramos lo mismo con un icosaedro, obtendríamos un dodecaedro. Además, el número de caras del dodecaedro coincide con el número de vértices
del icosaedro, y viceversa. Ambos tienen el mismo número de aristas. Por tanto, son
poliedros duales.
c)
Al unir mediante segmentoslos centros de cada dos caras
contiguas de un tetraedro, se forma otro tetraedro. Además,
el número de caras y de vértices en un tetraedro son iguales.
El tetraedro es dual de sí mismo.
2 Hemos señalado en rojo los centros de las caras “frontales” de estos poliedros, y más
claro, los centros de algunas caras “ocultas”. Uniéndolos convenientemente se obtienen los poliedros duales. Hazlo en tucuaderno.
octaedro – cubo
Unidad 10. Figuras en el espacio
dodecaedro – icosaedro
tetraedro – tetraedro
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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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1 Vamos a truncar, dando cortes que pasen por los puntos medios de las aristas, los restantes poliedros regulares.
a) Al truncar de este modo un tetraedro, se obtiene una figura conocida. ¿Cuál?
b) El resultado de truncar el octaedrotambién es conocido. ¿Comprendes, ahora, por
qué a esta figura se la llama cuboctaedro?
c) Describe la figura que resulta de truncar (puntos medios de las aristas) un dodecaedro y explica por qué es un poliedro semirregular (se llama icosidodecaedro).
d) Describe la figura que resulta de truncar (puntos medios de las aristas) un icosaedro.
e) Relaciona los resultados anteriores con la dualidad depoliedros estudiada en la
página anterior.
a) La figura que queda es un octaedro.
b) La figura que queda es un cuboctaedro.
c) El icosidodecaedro se compone de pentágonos regulares y de triángulos equiláteros. En
cada vértice confluyen dos pentágonos y dos triángulos.
Unidad 10. Figuras en el espacio
Pág. 1
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d) También sale un icosidodecaedro.e) La figura que resulta al truncar dos poliedros duales es la misma.
Unidad 10. Figuras en el espacio
Pág. 2
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x
2 ¿A qué distancia del vértice hemos de cortar los triángulos
pequeños para que el hexágono resultante sea regular?
x = 1 l, donde l es el lado del triángulo.
3
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Describe el tetraedro truncado.
¿Cuántas caras...
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