Tema15

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´
MATEMATICAS
BASICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELL´
IN
ECUACIONES

Ecuaciones

a) 5x − 3 = 7

Una ecuaci´
on es la afirmaci´
on de que dos expresiones algebraicas son iguales.

b) 2y −

Los siguientes son ejemplos de ecuaciones:

y y+1
+
= 6y.
2
4

Soluci´
on

2

x + 4 = 16
a) Debemos transformar la ecuaci´on original en una equivalente, que s´olo involucre la variable y suvalor, es decir, debemos “despejar la variable”

3x + 5 = −1
√
y−3=4
1
1
+
=4
x x−1
2xy − 5x + 4y = 0.

5x − 3 = 7
5x − 3 + 3 = 7 + 3
5x = 10
1
1
· 5x = · 10
5
5
x=2

Si en una ecuaci´
on se reemplazan las variables por n´
umeros
que convierten la ecuaci´
on en una proposici´
on verdadera,
decimos que dichos n´
umeros son soluciones o ra´ıces de la
ecuaci´
on.

(Ecuaci´on original)
(Se suma 3 a cadalado)
(Se realizan las operaciones)
1
(Se multiplica por cada lado)
5
(Se realizan las operaciones).

Decimos entonces que x = 2 es la soluci´
on de la
ecuaci´on.

El conjunto de todas las soluciones de una ecuaci´
on se llama
conjunto soluci´
on de la ecuaci´
on.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto
soluci´
on.

Para verificar que x = 2 es la soluci´on reemplazamos x
por 2en la ecuaci´on original, as´ı:
5 (2) − 3 = 10 − 3 y obtenemos 7 = 7 que es una
proposici´on verdadera. Luego x = 2 si es la soluci´
on
de la ecuaci´on 5x − 3 = 7.

Resolver una ecuaci´
on es encontrar todas las soluciones de
la ecuaci´
on, y para ello transformamos la ecuaci´
on inicial en
una ecuaci´
on equivalente m´
as simple, usando las siguientes
propiedades de la igualdad entre expresionesalgebraicas:

b) Simplificamos la ecuaci´on original, realizando las operaciones indicadas en cada lado de la igualdad:
y
y+1
8y − 2y + y + 1
2y − +
= 6y ⇐⇒
= 6y ⇐⇒
2
4
4
7y + 1 = 24y ⇐⇒ 7y + 1 − 24y = 24y − 24y

Si A, B y C representan expresiones algebraicas:
1. A = B ⇐⇒ A + C = B + C

⇐⇒ −17y + 1 = 0 ⇐⇒ −17y + 1 − 1 = 0 − 1 ⇐⇒
−1
−1
1
−17y = −1 ⇐⇒
· (−17y) =
· (−1) ⇐⇒ y =
.
17
17
17
1
Luego, y=
es la soluci´on de la ecuaci´
on.
17

2. A = B ⇐⇒ CA = CB (C = 0) .
Ecuaciones Lineales
Una ecuaci´
on lineal o de primer grado en x es una ecuaci´on
de la forma
ax + b = 0

Ecuaciones cuadr´
aticas

con a y b constantes (n´
umeros reales) y a = 0.
b
Estas ecuaciones tienen una u
´nica soluci´
on x = − ya que
a
ax + b = 0 ⇐⇒ ax + b − b = 0 − b ⇐⇒
1
1
b
ax = −b ⇐⇒ · ax = · (−b) ⇐⇒ x = − .
a
a
aEjemplo

Una ecuaci´
on cuadr´
atica o de segundo grado en x, es
una ecuaci´on de la forma
ax2 + bx + c = 0,

con a, b y c constantes (n´
umeros reales) y a = 0.
2x + 3 = 23 es una ecuaci´
on lineal ´
o de primer grado en la
Ejemplo
variable x.
Las siguientes ecuaciones no son lineales:
√
5
x2 + 3x = 2, x + 1 = 2x, = 2x.
x

3x2 + 2x − 1 = 0 y 4x2 + 2 = 0 son ecuaciones cuadr´
aticas.
Lasecuaciones cuadr´aticas en una variable pueden tener una
ra´ız de multiplicidad 2, es decir dos soluciones iguales, dos
soluciones distintas, o no tener soluci´on real.

Ejemplo
Resuelva las siguientes ecuaciones lineales:
1

e) x3 + 5x2 + 6x = 0 ⇐⇒ x x2 + 5x + 6 = 0

• Las ecuaciones cuadr´
aticas pueden resolverse usando
factorizaci´
on y la siguiente propiedad:

⇐⇒ x(x + 3)(x + 2) = 0. Luego lassoluciones de esta
ecuaci´on son x = 0, x = −3 y x = −2.

AB = 0 si y s´
olo si A = 0 ´
o B = 0,
con A y B expresiones algebraicas.

• En algunos casos la ecuaci´on cuadr´atica puede llevarse a
la forma de los ejemplos c) y d) anteriores, escribiendo
a un lado de la ecuaci´on los t´erminos que involucran
la variable y en el otro los t´erminos independientes,
para luego convertir la expresi´on queinvolucra la variable en un cuadrado perfecto, sumando o restando un
n´
umero adecuado, que tambi´en debe sumarse o restarse
al otro lado de la ecuaci´on, para conservar la igualdad.
Este procedimiento se conoce como completaci´
on del
cuadrado. Es decir,

Para utilizar esta propiedad agrupamos todos los
t´erminos a un lado de la igualdad, de tal forma que
el otro lado de la igualdad sea cero (= 0)....