Tema1Biologia Matrices

Tema 1

Matrices

Estructura del tema.
• Conceptos b´
asicos y ejemplos • Operaciones b´asicas con matrices • M´etodo de Gauss • Rango
de una matriz • Concepto de matriz regular y propiedades • Determinante asociado a una matriz
cuadrada

1.1.

Conceptos b´
asicos y ejemplos

Definici´
on 1.1.1. Dados dos n´
umeros naturales m y n, una matriz de orden o dimensi´
on m×n
es una tabla num´ericarectangular con m filas y n columnas.
NOTA: Siempre trabajaremos con n´
umeros reales.
Las matrices se suelen denotar por letras may´
usculas: A, B, X,... y los elementos de una matriz
se denotan con la misma letra que la matriz pero en min´
uscula y dos sub´ındices representando
la fila y la columna en la que se encuentra el elemento: aij , bij ... Cuando escribimos una matriz
por medio de suselementos, escribimos estos en forma de tabla y delimitados por par´entesis. Por
ejemplo, escribimos una matriz gen´erica de orden m × n como


a11 a12 a13 ... a1n


 a21 a22 a23 ... a2n 



A=
 a31 a32 a33 ... a3n  .


...
... ... ... 
 ...
am1 am2 am3 ... amn
Se define la relaci´
on de igualdad entre matrices de la siguiente manera:

2

Matrices

Definici´
on 1.1.2. Dos matrices A y Bson iguales si tienen la misma dimensi´on m × n y aij = bij
para cualesquiera 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n, es decir, si coinciden elemento a elemento.
Algunos casos especiales de matrices seg´
un su orden son los siguientes,
Definici´
on 1.1.3. Se dice que una matriz A es una matriz cuadrada si m = n. En este caso
podemos decir simplemente que la matriz es una matriz cuadrada de orden n. Se dice queuna
matriz es una matriz fila o vector fila si m = 1, es decir, si tiene una u
´nica fila. An´alogamente,
una matriz es una matriz columna o vector columna si n = 1, es decir, si tiene una u
´nica
columna. Se sobreentiende que una matriz fila de orden n es una matriz de orden 1 × n, y una
matriz columna de orden m es una matriz de orden m × 1.
En el caso particular de las matrices cuadradas, podemosdefinir su diagonal y su traza,
Definici´
on 1.1.4. Dada una matriz cuadrada, se define su diagonal como el conjunto de todos
los elementos de A del tipo aii . La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz
cuadrada se llama traza:
n

tr(A) =

aii .
i=1

Por u
´ltimo, introduciremos el concepto de submatriz.
Definici´
on 1.1.5. Dada una matriz A, llamaremos submatriz de A a cadamatriz que se obtenga
de ella suprimiendo algunas de sus filas y columnas.

1.1.1.

Tipos particulares de matrices

Veamos ahora algunos casos particulares de matrices cuadradas de especial relevancia. Sea A
una matriz cuadrada de orden n. Entonces, se dice que:
• A es una matriz sim´
etrica si para cualesquiera i, j con 1 ≤ i, j ≤ n se tiene que aij = aji .
• A es una matriz diagonal si todos loselementos que no pertenezcan a la diagonal valen
cero. En el caso particular en que todos los elementos de la diagonal valgan 1, la matriz se
llama matriz identidad (o matriz unidad), y se denota por In donde n es el orden de la
matriz. Cuando no haya lugar a confusi´on con respecto al orden de la matriz, denotaremos
la matriz identidad simplemente por I.
• A es una matriz triangular superior(inferior, respectivamente) si todos los elementos
por debajo (por encima, respectivamente) de la diagonal son cero.
Por u
´ltimo, supongamos que A es una matriz, no necesariamente cuadrada, de orden m × n.
Llamaremos pivote de una fila de A al primer elemento no nulo de dicha fila (si es que existe).
Entonces se dice que:

1.2 Operaciones b´
asicas con matrices

3

• A es una matriz escalonada porfilas si verifica las siguientes condiciones:
1. Si A tiene filas compuestas enteramente por ceros (filas nulas), ´estas est´an agrupadas en
la parte inferior de la matriz.
2. El pivote de cada fila no nula est´a a la derecha del de la fila anterior.
An´alogamente, se podr´ıan definir las matrices escalonadas por columnas.
Por u
´ltimo, como un caso particular de matriz, definimos la matriz nula...