Tema2

Tema 2
Aplicaciones lineales
2.1.

Primeras definiciones

A lo largo del tema V y W denotar´an espacios vectoriales de dimensi´on finita
sobre un cuerpo K.
Definici´
on 2.1.1. Una aplicaci´on f : V →W se llama aplicaci´on lineal (u homomorfismo) si verifica
1. f (u + v) = f (u) + f (v).
2. f (tv) = tf (v).
para todos u, v ∈ V y para todo t ∈ K.
Nota 2.1.2. Si f : V → W es una aplicaci´on lineal,entonces f (0V ) = 0W .
Proposici´
on 2.1.3. Dada una aplicaci´on lineal f : V → W , se verifican las siguientes propiedades:
1. f conserva combinaciones lineales: si v = t1 v1 + . . . tm vm ,entonces f (v) =
t1 f (v1 ) + . . . + tm f (vm ).
2. Si {v1 , . . . , vm } es familia ligada de vectores de V entonces {f (v1 ), . . . , f (vm )}
es ligada en W .
3. Si {f (v1 ), . . . , f (vm )} es libre,entonces {v1 , . . . , vm } es libre.
4. Los rec´ıprocos de los dos anteriores no tienen porqu´e ser ciertos.
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Matem´
aticas I. Curso 2015/16
2.1. PRIMERAS DEFINICIONES

Proposici´
on 2.1.4. Dadauna aplicaci´on lineal f : V → W , para cada subespacio
vectorial S de V , el conjunto f (S) = {f (v) | v ∈ S} es un subespacio vectorial de
W . Adem´as, si {u1 , . . . , um } es un sistema generadorde S, {f (u1 ), . . . , f (um )} es
un sistema generador de f (S).
Proposici´
on 2.1.5. Dada una aplicaci´on lineal f : V → W , para cada subespacio
vectorial T de W el conjunto f <− (T ) = {v ∈ V | f(v) ∈ T } es un subespacio
vectorial de V .
Definici´
on 2.1.6. Si f : V → W es una aplicaci´on lineal, se llama imagen de f al
subespacio
f (V ) = {f (v) | v ∈ V } = {w ∈ W | existe alg´
un v ∈ V conf (v) = w}.
Este conjunto, que es subespacio vectorial, se denota Im f . Al valor dimK (Im f ) se
le llama rango de la aplicaci´on.
Proposici´
on 2.1.7. Dada una aplicaci´on lineal f : V → W , secumple:
f es suprayectiva ⇐⇒ Im f = W.
Definici´
on 2.1.8. Si f : V → W es una aplicaci´on lineal, llamamos n´
ucleo de f al
conjunto {v ∈ V | f (v) = 0}. Se denota ker f .
Proposici´
on 2.1.9. Una...