Tema2fe

Tema 2: Construcción de la Física Estadística:
Naturaleza y Método
Descripción microscópica clásica. Descripción observable
(Balescu)
El estudio de la dinámica de los sistemas físicos puede hacerse en
el marco de dos descripciones que proporcionan las Mecánica Clásica y la Cuántica, respectivamente. Empecemos por estudiar la
descripción microscópica clásica:
A. Descripción microscópica clásicaHipótesis básica:
los ‘objetos’ de interés están constituidos por muchas moléculas, cada una bajo la influencia de fuerzas conservativas ejercidas por las otras y, eventualmente, por objetos exteriores (ej.,
el recipiente);
situación no-relativista, salvo que indiquemos lo contrario.3
Supongamos además que la propagación de estas fuerzas es
instantánea (se introduce el concepto de campo como unamagnitud que describe una determinada propiedad en cada punto
del espacio, de naturaleza, escalar, vectorial o tensorial, que
puede variar en el tiempo, variable dinámica básica)
El objeto tiene ν grados de libertad; de momento, ν es finito;
luego nos interesará ν infinito numerable.
Microestado, α ≡ estado dinámico del sistema que queda determinado por completo conociendo —en el instante encuestión—
ν parejas de coordenadas y momentos generalizados (que pueden ser coordenadas espaciales o amplitudes, etc, y los momentos son momentos conjugados en el sentido que veremos):
qs , p s ;

s = 1, 2, ..., ν,

3

Balescu, páginas 3 a 8, por ejemplo, para el rápido repaso que sigue de dinámica hamiltoniana. El alumno ha de completarlo con sus libros de mecánica clásica y cuántica.

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esto es:
α ≡ (q,p) ≡ (q1 , q2, ..., qν , p1, p2, ..., pv )
Espacio de las fases, Γ ≡ espacio métrico de 2ν dimensiones
determinado por un sistema cartesiano de 2ν ejes mutuamente
ortogonales correspondientes a las variables (q, p)
Todo microestado del sistema puede representarse mediante
un punto en Γ; todo punto en Γ representa un α, pero no
necesariamente realizable en el sistema.
Funciones dinámicas, b (q, p): representan magnitudes físicas
que —como la energía, momentos lineal y angular, etc— tienen valor bien definido en cada α
Ej., el hamiltoniano H (q, p) . Si representa la energía total de
un sistema conservativo, no es función del tiempo, es decir
H (q, p) = E = cte. Lo cual establece una relación o ligadura
entre los posible valores que pueden tomar q ′ s y p′ s, luego es
una superficie deenergía en Γ, en realidad una “hipersuperficie” de dimensión 2ν − 1. Cualquier otra relación o ligadura
que encontremos restringe aún más la región de Γ en la que se
puede encontrar nuestro sistema.
H es una función dinámica privilegiada en el sentido de que las
ecuaciones de Hamilton,
q˙s =

∂H (q, p)
,
∂ps

p˙s = −

∂H (q, p)
,
∂qs

determinan las posibles trayectorias de α en Γ
esto es, α se muevecon t (“movimiento natural”) y su trayectoria queda determinada por estas ecuaciones y la condición
inicial α0 .
Esta trayectoria tiene las propiedades:
queda confinada a una parte de Γ, accesible.
Ej., si el sistema es conservativo, no puede salir de H (q, p) =
E = const y, si está en un recipiente de volumen V, las
q ′ s quedan también limitadas por esta condición;
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no se corta a sí misma,pues las ecs. de H. son diferenciales
de 1er orden.
Por la misma razón (como reflejo del determinismo clásico):

α0

αt

αt

Notad que las ecs. de Hamilton son invariantes bajo inversión temporal, esto es son reversibles.
• dos sistemas con mismo H y αo =⇒ mismo αt .
• dos sistemas con mismo H pero α0′ y α0′′ =⇒ diferente
αt .

Ejercicio: Haced problemas clásicos de trayectorias en Γ.
Nota: Otrafunción dinámica muy importante en FE como veremos en las próximas lecciones cuando definamos el concepto de
colectividad de Gibbs es la función densidad ρ(q, p) que me da la
probabilidad o peso del microestado en la colectividad.
Puesto que (q, p) se mueve, es posible que cualquier función b (q, p)
cambie con el tiempo, aunque no tenga dependencia explícita en t.
En efecto,
db
=
b˙ (q, p, t)...