Tema3

Tema

3

Repaso de funciones elementales, límites y
continuidad
3.1.

Funciones. Definiciones básicas. Operaciones con funciones

3.1.1.

Definiciones

Una función real de (una) variable real es una aplicación f : A → B donde A y B son subconjuntos
de R, es decir, es una regla que hace corresponder a cada x ∈ A un único elemento f (x) ∈ B, que se
llama imagen de x mediante f .
Se llama expresiónanalítica de una función a la fórmula matemática que nos indica las operaciones que debemos realizar con el elemento x ∈ A para calcular f (x).
El conjunto A sobre el que la función está definida recibe el nombre de dominio de f . Cuando no
se especifique el dominio de una función se entenderá que éste es el subconjunto más grande de
R en el que la expresión analítica que define a la función tienesentido. Lo denotamos Dom( f ).
Se llama imagen o recorrido de f al conjunto, que representaremos por f (A) o por Im( f ), cuyos
elementos son las imágenes de los puntos de A mediante f , es decir:
f (A) = Im( f ) = {y ∈ R : existe x ∈ A con f (x) = y}.
Una manera práctica de decidir si un punto y está o no en Im( f ) consiste en intentar resolver la
ecuación f (x) = y, siendo x la incógnita dela ecuación. Si somos capaces de despejar la x en
función de y con x ∈ A, entonces y ∈ Im( f ); de lo contrario y ∈
/ Im( f ).
Se llama gráfica de f a la curva y = f (x) del plano R2 , es decir:
G( f ) = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ A, y = f (x)} = {(x, f (x)) ∈ R2 : x ∈ A}.
Normalmente representaremos los puntos de A sobre el eje x (o eje de abcisas) y sus imágenes
f (x) en el eje y (o eje de ordenadas). Elpunto (x0 , f (x0 )) se obtiene entonces como la intersección de la recta vertical {x = x0 } y la recta horizontal {y = f (x0 )}. La gráfica de f es la curva
en el plano que se forma cuando unimos todos estos puntos. Nótese que esta curva corta a cada
línea vertical a lo sumo una vez por la definición de función. Además, un número y0 pertenecerá
a la imagen de f si la recta horizontal {y = y0 }corta a la gráfica de f al menos una vez.
U NIVERSIDAD DE G RANADA . C URSO 2009-10

Funciones. Definiciones básicas. Operaciones con funciones

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Ejemplo: Para la función f : R → R dada por f (x) = x2 su dominio es R. Su expresión analítica
es la fórmula y = x2 , que nos indica como calcular la imagen de cualquier elemento x. El recorrido
de esta función estará formada por aquellos y ∈ R talesque la ecuación x2 = y tiene solución en la
incógnita x. Ahora, si queremos despejar la x en la ecuación x2 = y, necesitamos hacer la raíz cuadrada
√
de y, para lo que se precisa que y ≥ 0. En tal caso, al despejar tendríamos x = ± y. Concluimos que
Im( f ) = [0, +∞). Por otro lado, es bien sabido que la gráfica de f es una parábola cuyo vértice es el
punto (0, 0).
Ejemplo: Para la función f : (0,1) → R dada por f (x) = 1/x su dominio está especificado y es
el intervalo abierto y acotado (0, 1). Su expresión analítica es la fórmula y = 1/x, que nos indica
como calcular la imagen de cualquier elemento x. Por otro lado, como no se puede dividir por cero, el
conjunto más grande donde la función está bien definida es Dom( f ) = R − {0} = R∗ . La gráfica de f
es el trozo de la hipérbola xy = 1cuando x ∈ (0, 1).
• Se dice que una función f : A → R está acotada superiormente si su gráfica se queda siempre
por debajo de una recta horizontal, es decir, existe K ∈ R tal que f (x) ≤ K para cada x ∈ A. Se dice
que f está acotada inferiormente si su gráfica se queda siempre por encima de una recta horizontal,
es decir, existe M ∈ R tal que f (x) ≥ M para cada x ∈ A. Se dice que f está acotadasi lo está
superior e inferiormente. Geométricamente, ésto significa que la gráfica de f está contenida dentro
de una banda horizontal del plano, equivalentemente, el recorrido de la función está contenido en un
intervalo cerrado y acotado de R.
Ejemplos: La función f : R → R dada por f (x) = x3 no está acotada ni superior ni inferiormente,
ya que su recorrido es todo R. La función g(x) = x2 + 1...