Tema4 Complejos

Curso Introductorio a las
Matem´
aticas Universitarias

Tema 4: N´
umeros complejos

Juan Carlos Fari˜
na Gil

Licencia Creative Commons 2013

4.

´
NUMEROS
COMPLEJOS

En el presente tema consideraremos los n´
umeros complejos. Nos ocuparemos principalmente
de las diferentes formas de representarlos, as´ı como las operaciones b´asicas entre ellos.

4.1.

Introducci´
on

Si intentamos resolver
laecuaci´
on x2 + 1 = 0 nos encontramos que no tiene soluci´on ya que
√
´esta deber´ıa ser x = −1 y, como sabemos, la √
ra´ız cuadrada de un n´
umero negativo no existe en
umero complejo como
R, conjunto de los n´
umeros reales. Denotemos −1 por i y definamos un n´
una expresi´
on de la forma x + iy, donde x e y son n´
umeros reales. Dado un n´
umero complejo
z = x + iy, a x e y se les denominaparte real y parte imaginaria de z respectivamente y se
denotan por
x = Re z e y = Im z.
En caso de que z = x + i0 escribiremos z = x y diremos que z es real. Por otro lado, si z = 0 + iy,
escribiremos z = iy y le llamaremos imaginario puro. En particular 0 = 0 + i0 e i = 0 + i1.
El conjunto de todos los n´
umeros complejos se denota por C y ´este contiene al conjunto R
de los n´
umeros reales quepodemos identificar con el conjunto de los n´
umeros complejos cuya
parte imaginaria es 0, es decir R = {z ∈ C : Im z = 0}. El conjunto C se puede representar
gr´aficamente en el plano real (R2 ) sin m´as que asociar el n´
umero complejo z = x + iy con el par
2
o punto (x, y) de R . Este punto se conoce como afijo de z. La forma de expresar z como a + ib
se conoce como expresi´
on bin´
omica de unn´
umero complejo.
y
z = x + iy
•

y
eje real

x
eje imaginario

x

Figura 1. Plano complejo

Curso Introductorio a las Matem´
aticas Universitarias

4.2.

Tema 4. P´agina 2

Operaciones algebraicas

Para sumar o restar dos n´
umeros complejos hemos de sumar o restar sus respectivas partes
reales e imaginarias:
(x + iy) + (a + ib) = (x + a) + i(y + b)
(x + iy) − (a + ib) = (x − a) + i(y − b).
Lamultiplicaci´
on viene definida por la regla:
(x + iy)(a + ib) = (xa − yb) + i(xb + ya).
Esta regla parece complicada y dif´ıcil de recordar, pero si tenemos en cuenta que
i2 = (0 + i1)(0 + i1) = (0 − 1) + i(0 + 0) = −1 + i0 = −1,

(1)

y multiplicamos (x + iy)(a + ib) como dos polinomios en i, obtenemos dicha regla:
(x + iy)(a + ib) = xa + x(ib) + (iy)a + (iy)(ib) = xa + ixb + iya + i2 yb = (xa −yb) + i(xb + ya).
Notemos que (1) nos dice que i es una soluci´on de x2 + 1 = 0.
La suma y la multiplicaci´
on de n´
umeros complejos verifican las mismas propiedades que las
de los n´
umeros reales:
1. Asociativa: z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 ; z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3 .
2. Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1 ; z1 z2 = z2 z1 .
3. Elementos neutros: z + 0 = 0 + z = z ; z,1 = 1.z = z.
4.Distributiva: z1 (z2 + z3 ) = (z1 z2 ) + (z1 z3 ).
5. z · 0 = 0 · z = 0.

4.3.

Conjugaci´
on y m´
odulo

Dado un n´
umero complejo z = x + iy, llamamos conjugado de z al complejo que resulta al
cambiar de signo la parte imaginaria y lo denotaremos por z. As´ı z = x − iy. Se puede observar
que:
z = z si, y solamente si, z ∈ R
y
z = −z si, y solamente si, z = iy.
Adem´as, con la definici´
on que hemos dadodel producto de dos n´
umeros complejos se tiene
zz = (x + iy)(x − iy) = x2 + y 2 ,
√
umero real positivo y zz estar´ıa siempre bien definida. A este
lo que implica que zz es un n´
valor se le llama m´
odulo de z y se denota por |z|, esto es,
|z| =

»
√
zz = x2 + y 2 .

Tema 4. P´agina 3

Curso Introductorio a las Matem´
aticas Universitarias

El hecho de que zz sea un n´
umero real nos permitedefinir el inverso de un complejo z = a+ib = 0:
1
a − ib
a − ib
a
b
1
=
=
= 2
= 2
−i 2
,
z
a + ib
(a + ib)(a − ib)
a + b2
a + b2
a + b2
y consiguientemente la divisi´
on de n´
umeros complejos vendr´ıa dada por
z1
1
= z1 .
z2
z2
y
z = x + iy
•

x

•

−z = −x − iy

•

z¯ = x + iy

Figura 2. M´odulo, conjugado y opuesto
Propiedades del m´
odulo y conjugaci´
on respecto de las operaciones:
1. (z1 ±...