Tema4

Tema 4
Valores y vectores propios
4.1.

Introducci´
on

En este tema nos planteamos el siguiente problema:
Tenemos un endomorfismo de K n , o sea, una aplicaci´on lineal del h : K n → K n ,
yqueremos encontrar una base de K n respecto de la cual (tomada como base del
espacio de partida y tamb´en como base del espacio de llegada) la matriz coordenada
de h sea “lo m´as sencilla posible”. Si A esla matriz coordenada de h en la base
ca´onica, sabemos, por lo visto en el tema 3, que la matriz de h en la nueva base
ser´a P −1 AP , con P la matriz cuyas columnas son los vectores de la nueva base.Vamos resolver el problema de encontrar la P que hace que P −1 AP sea “sencilla”solo para los casos en que se puede lograr que P −1 AP sea diagonal.

4.2.

Primeras definiciones

Definici´
on 4.2.1.Dada una matriz A ∈ Mn×n (K), decimos que un escalar λ ∈ K
es valor propio de A si existe alg´
un X = 0 ∈ Kn tal que AX = λX. El vector X
anterior se denomina vector propio (asociado a λ) de A.
Nota4.2.2. Observemos que AX = λX puede escribirse como (λIn − A)X = 0
o´ (A − λIn )X = 0 .
Teorema 4.2.3. Dada A, matriz n × n sobre K, un escalar λ ∈ K es valor propio
de A si y s´olo si |A − λIn | = 0(´o |λIn − A| = 0).
Definici´
on 4.2.4. Dada una matriz A ∈ Mn×n (K), el determinante |xIn − A| es
un polinomio de grado n en la variable x, que se denomina polinomio caracter´ıstico
1

Matem´
aticasII. Curso 2015/16
´ DE MATRICES
4.3. DIAGONALIZACION

de A. La igualdad |xIn − A| = 0 es la llamada ecuaci´on caracter´ıstica de A.
Proposici´
on 4.2.5. Para cada λ ∈ K, valor propio de A ∈ Mn×n (K), elconjunto
S(λ) = {X ∈ Kn | AX = λX} = {X ∈ Kn | (λIn − A)X = 0}
es un subespacio vectorial de Kn denominado subespacio fundamental. Siempre contiene alg´
un vectorno nulo y dim K S(λ) = n − rang(λIn −A).

4.3.

Diagonalizaci´
on de matrices

Veamos ahora qu´e utilidad pueden tener los valores y vectores propios de una
matriz A ∈ Mn×n (K)
Teorema 4.3.1. Supongamos que existen n vectores propios...