Tema7

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Transformada Z
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17/11/99

Definición y Propiedades
Transformada Inversa
Función de Transferencia Discreta
Análisis de Sistemas

Capítulo 7: Transformada Z

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5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Definición y Propiedades
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Se define la Transformada∞ Z, X(z) de una secuencia x[n] :
X (z ) =

∑ x[k ]z − k

k =−∞

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La cantidad compleja zgeneraliza el concepto de frecuencia al
dominio complejo, z=|r|exp(j2πfts)n=0
.
Para una secuencia x[n]={6 4 3 2 -3}, la Transformada Z es
X(z)=6z2+4z1+3z0+2z-1-3z-2. El valor z-1 es el operador de
retraso unidad.
Ya que X(z) es una series de potencias, podría no converger
para todo z. Los valores de z para los cuales X(z) converge
definen la región de convergencia (ROC).
Toda X(z) lleva asociadauna ROC, ya que podría ocurrir que
dos secuencias distintas produzcan una X(z) idéntica con
diferentes ROCs.

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Capítulo 7: Transformada Z

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5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Definición y Propiedades
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Para una secuencia x[n] de longitud finita, X(z) converge para
todo z, excepto para z=0 y/o z=∞ (dependiendo de si X(z)
tiene términos z-k y/o zk).
Transformadas Z de algunassecuencias
ImpulsoUnidad
PulsoRectangula
r

x[n] = δ [n]

X (z) = 1 ROC: − ∞ ≤ z ≤ ∞
x[n] = u[n]− u[n − N]

(1− z )
X (z) = ∑z =
(1− z )
N −1

−N

−k

−1

k =0

Escalon Un
idad

x[n] = u[n]
∞

X (z) = ∑z−k =
k =0

Exponencia
l

z ≠ 1 ROC: z ≠ 0

x[n] = α ku[n]

z
1
=
ROC: z > 1
−1
(1− z ) (z −1)

∞

∞

k =0

k =0

X (z) = ∑α k z−k = ∑(α z) =
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k

z
ROC: z > α
(z −α )
Capítulo 7: TransformadaZ

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Definición y Propiedades
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Transformadas Z de algunas secuencias (Continuación)
Exponencial

x[n] = −α n u[− n − 1], n = −1,−2,...
X (z ) =

−1

∑ −α

k =−∞

=−

◆

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k

z

−k

∞

= ∑ −α
m =1

z
(z α )
=
[1 − (z α )] (z − α )

∞

z = ∑ −( z α )

−m m

m

m =1

ROC: z < α

En estos dos últimos ejemplos se observa que la Transformada Z esidéntica para las dos secuencias. Sin embargo la ROC es distinta. Para
la secuencia causal, la ROC es |z|>|α|, mientras que para la anticausal
|z|<|α|. La ROC dependerá de si la señal es causal (definida en el eje
positivo), anticausal (eje negativo) o no causal (dos ejes).

Capítulo 7: Transformada Z

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5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Definición y Propiedades
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Propiedades de la TransformadaZ
Superposicion
Desplazamiento

ax[n] + by[n] ↔ aX (z ) + bY (z )
x[n − 1] ↔ z −1 X (z ) + x[−1]
x[n − N ] ↔ z − N X (z ) + z − ( N −1) x[−1]++ x[− N ]
x[n + N ] ↔ z N X (z ) − z N x[0] − z N −1 x[1]−− zx[ N − 1]

Escalado

α n x[n] ↔ X (z / α )
dX (z )
dz
d
dX (z )
n 2 x[n] ↔ − z  − z

dz 
dz 
nx[n] ↔ − z

×n
×n 2
× cos
×sin

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[ X{z exp( jω T )} + X{z exp(− jω T )}]
sin(nω T )x[n]↔ j [ X {z exp( jω T )} − X {z exp(− jω T )}]

cos(nω 0 T )x[n] ↔
0

1
2

0

1
2

0

0

0

Capítulo 7: Transformada Z

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Definición y Propiedades
x[n]∗ y[n] ↔ X (z )Y (z )

Convolucion
Diferencia

(

x[0] = lim X (z )

Teorema Valor Inicial

z→∞

Teorema del Valor Final

Secuencia

lim x[n] = lim(z − 1) X (z )

n →∞

z →1

Transformada Z

ROC
todo z

δ [n− m], m > 0

1
z-m

δ [n + m], m > 0

zm

|z|<∞

u[n]

z
(z − 1)
z
(z − 1)

δ [n]

−u[− n − 1]

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)

x[n] − x[n − 1] ↔ 1 − z −1 X (z )

|z|>0
|z|>1
|z|<1
Capítulo 7: Transformada Z

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5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Definición y Propiedades
Secuencia

Transformada Z

a u[n]

na nu[n]

z
(z − a )
z
(z − a )
az
(z − a)2

[cos nω T ]u[n]

z z − (cos nω 0 T )

n

− a nu[− n − 1]

0[sin nω 0T ]u[n]
r n [cos nω 0 T ]u[n]
r n [sin nω 0 T ]u[n]
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[

z>|a|
z<|a|
z>|a|

]

z − 2(cos nω 0 T )z + 1
2

z sin nω 0 T
z 2 − 2(cos nω 0 T )z + 1

[

ROC

]

z z − r(cos nω 0 T )

|z|>1
|z|>1

z 2 − 2 r(cos nω 0 T )z + r 2

|z|>|r|

z 2 − 2r(cos nω 0 T )z + r 2

|z|>|r|

zr(cos nω 0 T )

Capítulo 7: Transformada Z

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