Tema7

Lino Alvarez - Aurea Martinez ———————————— METODOS NUMERICOS

TEMA 7: INTEGRACION
NUMERICA
1.

INTRODUCCION

La necesidad de aproximar num´ericamente el valor de
una integral surge por dos motivos fundamentalmente:
la dificultad o imposibilidad en el c´alculo de una
primitiva,
la funci´on a integrar s´olo se conoce por una tabla de
valores.
Sea, entonces, una funci´on f : [a, b] −→ R. Supongamosque se conocen los valores de f en los (n + 1)
nodos distintos x0, x1, . . . , xn. Trataremos de aproximar
la integral ab f (x)dx por una f´ormula de cuadratura
del tipo:
n
b
f
(x)dx
Ai f (xi).
a
i=0

Nos restringiremos al estudio de las f´ormulas de tipo
interpolatorio polin´omico, esto es:
171

f (x)
b
a

f (x)dx

n
i=0
n

f (xi) li(x) ⇒

i=0

f (xi)

b

l (x)dx.
a i

Por tanto, loscoeficientes de la f´ormula son:
b

l (x)dx,
a i

Ai =

i = 0, . . . , n.

Teorema 1 .- Una f´ormula de cuadratura:
b
a

f (x)dx

n
i=0

Ai f (xi)

es de tipo interpolatorio polin´omico si y s´olo si es
exacta en Pn(R).
Entonces, para el c´alculo de los coeficientes Ai impondremos la exactitud de la f´ormula sobre los polinomios
xk , 0 ≤ k ≤ n, de la base de Pn(R) :
n
i=0

Ai xki

bk+1 − ak+1
=
,
k+1

0 ≤ k≤ n.

Este S.E.L. de (n + 1) ecuaciones y (n + 1) inc´ognitas
con matriz de Vandermonde (por tanto, inversible) tiene
soluci´on u´nica. Resolviendo el sistema se obtienen los
valores de los coeficientes Ai, i = 0, . . . , n.

172

Ejemplo 1 .Partimos de la tabla de valores:
xi
f (xi)

−1 0 1
2 −1 3

Entonces, para:
x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1
se busca:
1
−1

f (x)dx

A0f (x0) + A1f (x1) + A2f (x2)
=2A0 − A1 + 3A2.

Debemos resolver el sistema:








A0 +A1 +A2 = 2
−A0
+A2 = 0





 A0
+A2 = 23
La soluci´on es:
1
4
1
A0 = , A1 = , A2 =
3
3
3
Por tanto:
1

f (x)dx
−1

1 4
1 1
2. − + 3. = .
3 3
3 3
173

Teorema 2 .- (F´ormula para el error de integraci´on)
Sea [c, d] un intervalo que contenga a [a, b] y a los nodos x0, x1, . . . , xn. Si f ∈ C n+1([c, d]) y el polinomio
π(x) = (x− x0) . . . (x − xn) no cambia de signo en
(a, b), entonces el error cometido por la f´ormula de
cuadratura de T.I.P. es:
b
a

f (x)dx −

b
a

f (n+1(ζ)
Pn(x)dx =
(n + 1)!

b
a

π(x)dx,

con ζ ∈ (a, b).

Ejemplo 2 .1. F´ormula de Poncelet (o del punto medio):
n=0:

x0 =

a+b
.
2

A0 = b − a.
b
a

f (x)dx

(b − a) f (

a+b
).
2

(b − a)3
m´ax |f (ζ)|.
|Error| ≤
24 ζ∈[a,b]

174

2. F´ormula delTrapecio:
n=1:
x0 = a, x1 = b.
A0 +A1 = b − a
b−a
⇒
A
=
A
=
.
2
2
0
1

 A a +A b = b −a
2
0
1
2




b
a

f (x)dx

b−a
[f (a) + f (b)]
2

(b − a)3
m´ax |f (ζ)|.
|Error| ≤
12 ζ∈[a,b]
3. F´ormula de Simpson:
a+b
, x2 = b.
2



A0
+A1
+A2 = b − a




b2 −a2
a+b
+A
b
=
A
a
+A
2
0
1 2

2


3 −a3


a+b
b
2
2
2
 A a
+A1( 2 ) +A2b = 3
0
b−a
2
⇒ A0 = A2 =
, A1 = (b − a).
6
3

n=2:

b
a

f(x)dx

x0 = a, x1 =

b−a
a+b
[f (a) + 4f (
) + f (b)].
6
2

(b − a)5
|Error| ≤
m´ax |f IV (ζ)|.
2880 ζ∈[a,b]
175

2.

PROPIEDADES

1. Invarianza por traslaciones:
Si

b
a
b+d

f (x)dx

a+d

entonces

f (x)dx

n
i=0
n
i=0

Ai f (xi)

Bi f (xi + d)

Bi = Ai, ∀i = 0, . . . , n.

2. Modificaci´
on por homotecias:
Si

b
a
cb
ca

entonces

f (x)dx
f (x)dx

n
i=0
n
i=0

Ai f (xi)
Bi f (cxi)

Bi = c Ai, ∀i =0, . . . , n.

3. Simetr´ıa:
Si los nodos est´an dispuestos sim´etricamente respecto del centro del intervalo (a, b), es decir:
a+b
a+b
− xi = xn−i −
, i = 0, . . . , n,
2
2
entonces los coeficientes de la f´ormula
b
a

verifican

f (x)dx

n
i=0

Ai f (xi)

Ai = An−i, ∀i = 0, . . . , n.
176

Observaci´
on 1 .- (F´ormulas de Newton-Cotes)
Cuando los nodos de cuadratura en el intervalo [a, b]
sonequiespaciados surgen las f´ormulas de NewtonCotes.
Se habla de f´ormulas cerradas cuando los dos extremos del intervalo son nodos.
En caso contrario, cuando los extremos no son nodos de cuadratura, se habla de f´ormulas abiertas.
Por ejemplo, Trapecio y Simpson son f´ormulas de
Newton-Cotes cerradas.
En cambio, Poncelet es una f´ormula de NewtonCotes abierta.
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a = x0 x1 x2...